六年下册奥数试题- 容斥原理（二） 全国通用（含答案）

第10讲  容斥原理（二）   上一讲我们已经初步研究了简单的容斥原理，今天我们继续研究较复杂的容斥问题。 例1  五年级一班有45名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有25人，报篮球班的有20人，报游泳班的有30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。请问：三项都报的有多少人？ 分析：由于问题比较复杂，我们把它简化成下图.要计算阴影部分的面积，我们记A∩B为圆A与圆B公共部分的面积，B∩C为圆B与圆C公共部分的面积，A∩C表示圆A与圆C的公共部分的面积，x为阴影部分的面积则图形盖住的面积为：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X。请同学们注意：阴影部分的面积先加了3次，然后又被减了3次，最后又加了1次。 解答：设三项都报的有x人，由容斥原理有 30+25+20-10-10-12+x=45 解得 x=2。 答：三项都报名的有2人。 说明：在“A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X”式中，A，B，C，A∩B，B∩C，A∩C，x和总量这8个数中，只要知道了7个数，就可通过列方程求出第8个数。 例2  从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？ 分析：第一步先求出：能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？第二步再求出：不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？能被3整除的自然数的个数+能被5整除的自然数的个数+能被7整除的自然数的个数－（既能被3整除又能被5整除的自然数的个数+既能被3整除又能被7整除的自然数的个数+既能被5整除又能被7整除的自然数的个数）+能同时被3、5、7整除的自然数的个数=能被3、5、7中任何一个自然数整除的数的个数。 解答：能被3整除的自然数有多少个？ 1000÷3=333……1      有333个。 能被5整除的自然数有多少个？ 1000÷5=200            有200个。 能被7整除的自然数有多少个？ 1000÷7=142……6       有142个。 既能被3整除又能被5整除的自然数有多少个？ 1000÷15=66……10      有66个。 既能被3整除又能被7整除的自然数有多少个？ 1000÷21=47……13      有47个。 既能被5整除又能被7整除的自然数有多少个？ 1000÷