六年级上册奥数试题-第5讲 容斥原理 全国通用（含答案）

第5讲 容斥原理   知识网络 我们经常会遇到这样一类问题，题目中涉及到包含与排除，也就是说有重叠部分。解答此类问题的主要依据是容斥原理。 容斥原理一：设A、B是两类有重叠部分的量（如图1所示），若A对应的量为a，B对应的量为b，A与B重叠部分对应的量为ab，那么这两类量的总量可以用下面的公式进行计算： 总量=a+b-ab 容斥原理二：设A、B、C是三类有重叠部分的量（如图2所示），若A对应的量为a，B对应的量为b，C以应的量为c，A与B重叠部分以应的量为ab，B与C重叠部分对应的量为bc，C与A重叠部分对应的量为ca，A、B、C三部分重叠部分对应的量为abc，则这三类量的总量可以用下面的公式进行计算： 总量=a+b+c-ab-bc-ca+abc     重点·难点 容斥原理的表述虽然简单，但涉及容斥原理的题型很多，范围很广。我们往往会遇到一些看似与容斥原理无关的问题，然而通过恰当的转化，便可利用容斥原理顺利求解。如何分析题目，准确找到重叠部分，将问题转化成可用容斥原理解决的问题是本节的难点。     学法指导 解决本节问题的最基本方法是示意图法，即通过示意图来表示题目中的数量关系，使分析、推理与计算结合起来，达到使题目的内容形象化，数量之间关系直观化的目的。 因此，这就要求我们在解题过程中，仔细分析，找出所需量并用示意图表示出来，进而通过观察示意图，确定几类量的重叠部分，然后运用容斥原理解决问题。   经典例题 [例1]分母是1001的最简真分数，共有多少个？     思路剖析 分母是1001的真分数有共1000个，为了方便计算，增加一个分数在1001个分数中考虑问题。由于1001=7×11×13，所心1~1001的分子里只要含有7、11、13的倍数的就一定能同分母约分，即不是最简真分数，应排除掉。因此，首先应考虑1~1001中，有多少个7、11或13的倍数。     解答 因为1001=7×11×13，所以在1~1001的自然数中，7的倍数共有（11×13）个，11的倍数共有（7×13）个，13的倍数共有（7×11）个；7、11年公倍数有13个，7、13的公倍数有11个，11、13的公倍数有7个；7、11、13的公倍数有1个（即1001）。根据容斥原理二可得，在1~1001中，7、11和13的公倍数共有： 11×13+7×13+7×11-13-11-7+1=2