六年级上册数学试题 奥数系列～第17讲 最短路线问题 全国通用(含解析)

第17讲  最短路线问题   知识网络 人们在日常生产、生活实践中，常常会遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。通常最短路线问题是以“平面内连接两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的。常见的最短路线问题，按研究问题的限制条件允许已知的两点所在面的不同，分成四类： （1）如果两点位于同一平面上，那么所求的最短路线是线段。 （2）如果两点位于不同的不同的平面上，如凸多面体的表面，那么所求的最短路线是曲线。 （3）如果两点位于可展开为平面的曲面上，如圆柱面、圆锥面，那么所求的最短路线是曲线。 （4）如果两点位于不可展开为平面的曲面上，如球面，这时所求的最短路线是曲线。   重点·难点 最短路线问题的所有问题都是从一个基本定理引出来的：“两点之间，直线段最短。”如何将一些不能直接应用此定理的题型转化为可利用此定理的题型，是解决本讲问题的关键。这里常用“对称”的方法转化问题。   学法指导 对于平面上的最短路线问题，一般是尽量化简问题，使得能够应用基本定理。而凸多面体和可展开为平面的曲面的最短路线问题，是将它们展开为平面，将问题转化平面上的最短路线问题来解决。对不可展为平面的曲面，主要是球面，我们用以下面的这个具体例子来说明：设球面上有A、B两点，我们用过A点、B点及球心O的平面截球，在球的表面上留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间的不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线。   经典例题 [例1]有一个牧马人带着马群从营房A点出发，到草地MN放牧。傍晚到营房B之前先带马群到小河PQ去给马饮水，如图1所示。想一想：牧人应该走哪一条路线，才能使整个放牧的路程（即从A→MN→PQ→B）最短？   思路剖析 考虑这个问题可先假设牧马人从A点先到达草地MN上的某点E，然后再从E到达小河岸PQ上的某点F，最后再从F点回到B点。依题意，本题是求A→E→F→B的这条路线最短。我们用对称法求解。   解答 如图2所求，首先，我们作A点关于草地MN的对称点，作B点关于小河PQ的对称点连接，交直线MN于点E，交直线PQ于点F，连接AE、BF，则折线段AE+EF+FB就是所求的最短路线。 这是因为是A关于直线MN的对称点，所以；是B关于直线PQ的对称点，所以；因此。若在MN上有异于点E的点，PQ上有异于点F的点，显然有（因为、两点之间，直线段最短），从而