六年级上册奥数试题-第10讲 追及问题 全国通用（含答案）

第10讲  追及问题   知识网络 追及问题是行程问题中的另一种典型应用题，是同向运动问题。 一般的追及问题：甲、乙两个人同时行走，甲的速度快，乙的速度慢，当乙在甲前面时，甲经过一段时间后就可以追上乙。这就产生了“追及问题”。要计算走得快的人在某一段时间内比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差即追及路程。 追及路程=甲走的路程-乙走的路程 =甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间 =（甲的速度-乙的速度）×追及时间 =速度差×追及时间   重点·难点 追及问题中也涉及到三个量之间关系的转化： 路程差=速度差×追及时间 速度差=路程差÷追及时间 追及时间=路程差÷速度差 这里的追及时间是指共同使用的同一段时间。在追及问题中还会涉及到环形跑道和列车问题。都可以根据具体条件转化成普通的追及问题。   学法指导 把握基本公式：路程差=速度差×追及时间。路程差是指在相同时间内速度快的比速度慢的多行的距离，速度差是单位时间内速度快的与速度慢的路程差，追及时间是从出发到追上所经历的时间。在理解以上概念时要从具体的追及问题入手，掌握好公式中的数量关系，不被表面现象所迷惑，才能正确解题。   经典例题 [例1]甲、乙二人进行短跑训练，如果甲让乙先跑40米，则甲需要跑20秒追上乙；如果甲让乙先跑6秒，则甲仅用9秒就能追上乙。求：甲、乙二人的速度各是多少？   思路剖析 如果甲让乙先跑40米，然后甲出发追乙，这40米就是二人间的路程差；甲用20秒追上乙是追及时间，根据速度差=路程差÷追及时间，可求甲、乙二人的速度差，即40÷20=2（米／秒）。如果甲让乙先跑6秒，则甲需要9秒追上乙，这一过程中追及时间是9秒，由上一过程的结论可求路程差：2×9=18（米），这18米就是乙先跑6秒所跑过的路程，所以可求出乙的速度是18÷6=3（米／秒），那么甲速可求。   解答 （1）甲、乙两人的速度差：40÷20=2（米／秒） （2）乙速：2×9÷6=3（米／秒） 甲速：3+2=5（米／秒） 答：甲、乙二人的速度分别为5米／秒和3米／秒。   [例2]学校组织学生步行去野外实习，每分钟走80米，出发9分钟后，班长发现有重要东西还在学校，就以原速度返回，找到东西再出发时发现又耽搁了18分钟，为了在到达目的地之前赶上队伍他改骑自行车，速度为260米／分，当他追上学生队伍时距目的地还有120米。求走完全程学生队伍步行需多长时间？   思路剖析 此题中的追及问题发生在班长返回后，从学校出发追学生队伍，此时学生队伍已走出一段距离。这段距离即路程差。由路程=速度×时间，学生行走速度已知，学生先走的时间：9+9+18=36（分钟），因为以原速返回，则返回学校这段路程所用时间也是9分钟。可求路程差=80×36=2880（米）。由追及时间=路程差÷速度差，可知班长用2880÷（260-80）=16（分钟）追上学生队伍。那么全程可求，学生队伍走这段路所用的时间易知。   解答 班长从学校出发时与学生队伍的距离：80×（9+9+18）=2880（米） 追上学生队伍所用的时间：2880÷（260-80）=16（分钟） 从学校到实习目的地全程：260×16+120=4280（米） 学生队伍行走所需时间：4280÷80=53.5（分钟） 答：学生走完全程需53.5分钟。   [例3]甲、乙、丙三人从同一地点A地前往B地，甲、乙二人早上8点一起从A地出发，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，丙上午11点才从A地出发。晚上8点，甲、丙同时到达B地。求：丙在几点钟追上了乙？   思路剖析 此题看起来很复杂，实际上只含有一个丙追乙这一个追及关系。我们先将这个追及关系放在一边。首先看由甲和丙同时到达这个条件可以求出哪些关于这个追及问题可以利用的结论。甲在早8点出发，晚8点到达，而且甲速已知，那A、B间距离可知：6×12=72（千米），而丙走这段路所用时间比甲少3小时，那么可知丙速为：72÷（12-3）=8（千米/小时）。在丙从A地出发时，乙已经先走了3小时，可知路程差：4×3=12（千米），那么追及问题中速度差、路程差可知，追及时间易求。   解答 A、B两地间距离：6×12=72（千米） 丙的速度：726（12－3）=8（千米／小时） 丙追上乙的追及时间：4×（11-8）÷（8-4）=3（小时） 11+3=14（点）即下午2点 答：丙在下午2点钟追上乙。   点津 当题的表述很复杂，一时找不到解题关键时，可先由题中已有的条件求出可以得到的结论，然后再寻找解题的出路。 [例4]甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时乙在前，甲在后，出发后8分钟甲、乙第一次相遇，出发后的24分钟时甲、乙第二次相遇。假设两人的速度保持不变，你知道出发时乙在甲前多少米吗？   思路剖析