六年级上册奥数试题-第7讲 加法原理与乘法原理 全国通用（含答案）

第7讲  加法原理与乘法原理   知识网络 排列与组合问题是围绕计数问题展开的一类问题。解决此类问题，一般要用到两个常用的原理，即加法原理和乘法原理。 要完成一个任务，如果能分成r类彼此独立的不同方式，第一类方式有种不同的方法可以完成任务，第二类方式有种不同的方法可以完成任务，……，第r方式有种不同的方法完成任务。那么完成这个任务就有种不同的方法，这种分类计数的方法就称为加法原理。 如果完成某项任务要分r个不同的步骤，第一步有种不同的方法完成任务，第二步有种不同的方法完成任务，……，第r步有种不同的方法完成任务。那么完成这个任务就有种不同的方法，这种步骤完成任务的计数方法称为乘法原理。   重点·难点 加法原理、乘法原理以及上一讲的容斥原理是解决计数问题的三个基本原理。应用加法原理和乘法原理，关键是弄清两者之间的本质区别：如果属于分类考虑，则应用加法原理解题，如果属于分步考虑，则应用乘法原理解题。如何根据题意分清究竟是分类还是分步，是本讲的难点。   学法指导 在应用这两个原理解计数问题时必须紧紧抓住“分类还是分步”来区分两种原理。除此以外，解决问题常用的方法还有枚举法、对应法、归纳法等，应根据具体问题灵活采用适当的方法。   经典例题 [例1]如图1所示，在10×10个边长为1的小正方形拼成的棋盘中，求由若干个小方块能拼成的所有正方形的数目。   思路剖析 由小方块所拼成的正方形边长可以取1，2，…，10。这样有十类不同的方式拼出正方形。下面再计算出每类方式有多少种方法拼出正方形。边长为1的正方形显然有10×10个；边长为2的正方形，横边有9种选择：AC，BD，CE，DF，…，IK。类似的，纵边也有9种选择，横边和纵边都选定后正方形就确定了。因此经过两个独立步骤就可以完成拼正方形的任务，由乘法原理可知拼出边长为2的小正方形有9×9个。边长为其他数时可以类似推出。   解答 由乘法原理可得： 边长为1的小正方形有10×10个； 边长为2的小正方形有9×9个； 边长为3的小正方形有8×8个； …… 边长为9的小正方形有2×2个； 边长为10的小正方形有1×1个。 由加法原理，共有 10×10+9×9+…2×2+1×1=100+81+64+49+36+25+16+9+4+1=385（个） 答：共有385个正方形。 [例2]用红、黄、蓝、绿四种颜色给一个五边形（图2）着