五年级上册奥数第六讲- 能被30以下质数整除的数的特征 -通用版（例题含答案）

第六讲 能被30以下质数整除的数的特征 　　大家知道，一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；反过来也对，也就是一个数的个位数能被2整除，那么这个数本身能被2整除.因此，我们说“一个数的个位数能被2整除”是“这个数能被2整除”的特征.在这一讲中，我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的数的特征。 　　为了叙述方便起见，我们把所讨论的数N记为： 　　 　　有时也表示为 　　 　　我们已学过同余，用mod2表示除以2取余数.有公式： 　　①N≡a0（mod2） 　　②N≡a1a0（mod4） 　　③N≡a2a1a0（mod8） 　　④N≡a3a2a1a0（mod16） 　　这几个公式表明一个数被2（4，8，16）整除的特性，而且表明了不能整除时，如何求余数。 　　此外，被3（9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3（9）整除.我们借用同余记号及一些运算性质来重新推证一下.如（mod9），如果， 　　N=a3a2a1a0=a3×1000+a2×100+a1×10+a0 　　＝a3×（999＋1）＋a2×（99+1）＋a1×（9+1）+a0 　　＝（a3+a2+a1+a0）+（a3×999+a2×99+a1×9）， 　　那么，等式右边第二个括号中的数是9的倍数，从而有 　　N≡a3＋a2+a1+a0（mod9） 　　对于mod3，理由相仿，从而有公式： 　　⑤N≡（…＋a3＋a2＋a1＋a0）（mod9）， 　　N≡（…+a3＋a2＋a1＋a0）（mod3）。 　　对于被11整除的数，它的特征为：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。 　　先看一例.N=31428576，改写N为如下形式： 　　N=6＋7（11-1）＋5（99＋1）＋8（1001-1）＋2（9999＋1）＋4（100001-1）+1（999999+1）+3（10000001-1） 　　=6-7+5-8+2-4+1-3+7×11+5×99＋8×1001+2×9999+4×100001+1×999999＋3×10000001。 　　由于下面这两行里，11、99、1001、9999、100001、999999、10000001都是11的倍数，所以 　　N=6-7＋5-8＋2-4＋1-3（mod11）。 　　小学生在运算时，碰上“小减大”无法减时，可以从上面N的表