五年级上册奥数第一讲-数的整除问题 -通用版（例题含答案）

第一讲 数的整除问题 　　数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。 　一、基本概念和知识 　　1.整除——约数和倍数 　　例如：15÷3=5，63÷7=9 　　一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。 　　如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 　　例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。 　　2.数的整除性质 　　性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 　　即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 　　例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6）， 　　并且2｜（10—6）。 　　性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 　　性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 　　即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 　　例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 　　那么（2×7）｜28。 　　性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 　　即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 　　例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 　　3.数的整除特征 　　①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 　　②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 　　③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 　　④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 　　例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. 　　⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。