六年级下册奥数第十二讲-综合应用题选讲（二） 例题 习题 -通用版（例题含答案）

第十二讲 综合题选讲（二） 　　解综合题，除了要有牢固的解基本题的基础之外，还要求解题者有创造性意识，有构造（构思）能力，有探索能力，要善于把复杂的问题化归为较简单的问题. 　　例1 任意100个自然数，从中是否可找出若干个数（也可以是一个，也可以是多个），使得找出的这些数之和可以被100整除？说明理由. 　　分析 100太大，先从小一些的数分析. 　　如果是两个自然数，当其中有偶数时，这个偶数可被2整除，这时结论成立；当其中没有偶数时，这两个奇数之和是偶数，这两个数之和能被2整除，可见对于两个自然数，结论成立. 　　如果有3个自然数，当其中有3的倍数时，这个数就可被3整除，选这个数即可；当其中没有3的倍数时，如果这3个数被3除的余数相等，那么这3个数之和可被3整除，这时可选出这3个数；如果这3个数被3除后有的余1，有的余2，就取余1和余2的各一个数，这两个数之和可被3整除.因此，对于3个整数的情形，结论成立. 　　类似的分析可知，对于4个整数的情形，结论成立.不过分析的过程要更长些. 　　按这种思路分析下去，虽然能够依次断定对于5个，6个，7个，8个，…整数时结论成立，但是还不能说“对于100个整数结论也成立”.因为我们不可能在短时间内一直验证到100.看来要另外设计证题的方法.虽然没有证出原来的题目，但是从简单情况可猜想原题的结论应当是肯定的. 　　因为本题结论是与若干个数之和有关的，由此可联想构造“若干个数之和”形式的数.再进一步考虑被100除后的余数. 　　设原来的 100个数是a1， a2，…， a100.考虑 b1， b2，…，b100，其中 　　b1=a1， 　　b2=a1＋a2， 　　b3=a1+a2+a3， 　　b100=a1+a2+a3+…+a100. 　　很显然每个bi（i=1，2，…，100），以及它们中的任意两个之差（例如b5-b2=a3+a4+a5），都是若干个原来的数之和. 　　考虑b1，b2，…， b100被 100除后各自的余数. 　　如果有一个数，例如b1，它能被 100整除，那么问题就解决了. 　　如果任一个数被100除之后的余数都不是0，那么100个数最多可能余1，余2，…，余99，所以至少有两个数，它们被100除后的余数相同.这时，它们的差可被100整除，也就是说在a1，a2，…，a100中存在若干个数，它们的和可被100