六年级下册奥数第七讲-整数的分拆 例题 习题 -通用版（例题含答案）

第七讲 整数的分拆 　　整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和 　　n=n1+n2+…＋nm（n1≥n2≥…≥nm≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识. 一、整数分拆中的计数问题 　　例1 有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？ 　　解：根据分拆的项数分别讨论如下： 　　①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式； 　　②把6分拆成两个自然数之和有3种方式 　　6=5+1=4+2=3+3； 　　③把6分拆成3个自然数之和有3种方式 　　6=4+1+1=3+2+1=2+2+2； 　　④把6分拆成4个自然数之和有2种方式 　　6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1； 　　⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式 　　6=2+1+1＋1＋1； 　　⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式 　　6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有 　　1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法. 　　说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆. 　　例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？ 　　解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律： 　　1994=1993+1=1＋1993 　　=1992+2=2＋1992 　　=… 　　=998＋996=996+998 　　=997+997 　　因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和. 　　解法2：构造加法算式： 　　 　　于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式. 　　说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中 　　 　　例3 有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法）