六年级下册奥数第六讲-最大最小问题 例题 习题 -通用版（例题含答案）

第六讲 最大与最小问题 　　先看一个简单的问题： 　　妈妈让小明给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟，小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟.为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？ 　　这个题目，取材于华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》. 　　开水壶不洗，不能烧开水，因而洗开水壶是烧开水的先决条件；没开水、没茶叶、不洗壶杯则不能泡茶，这些又是泡茶的先决条件.因此我们可以列出它们的相互关系图 　 　　从上图中很容易看出，最省时间的办法是：先洗开水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待水开的过程中，可以完成洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，这样仅用16分钟就能沏茶了，这是没有“窝工”的最合理的安排，用最少的时间完成了工作. 　　像这样，研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值的问题，我们称为最大与最小问题. 　　在日常生活、科学研究和生产实践中，存在大量的最大与最小问题.如，把一些物资从一个地方运到另一个地方，怎样运才能使路程尽可能短，运费最省；一项（或多项）工作，如何安排调配，才能使工期最短、效率最高等等，都是最大与最小问题.这里贯穿了一种统筹的数学思想-最优化原则.概括起来就是：要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果.这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的应用. 一、数、式、方程（组）中的最大最小问题 　　例1 把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？ 　　分析与解答 这要考虑到一些隐含着的限制条件，可以这样思考： 　　①要使14拆成的自然数的乘积最大，所拆成的数的个数要尽可能多，多一个可以多乘一次，但1不应出现，因为1与任何数的积仍为原数. 　　②拆出的加数不要超过4，例如5，它还可以拆成2和3，而2×3＞5，所以加数大于4的数还要继续拆小. 　　③由于4=2+2，又4=2×2，因此拆出的加数中可以不出现4. 　　④拆出的加数中2的个数不能多于两个.例如拆成三个2，不如拆成两个3.因为三个2的积为8，两个3的积为9，这就是说，应尽可能多拆出3. 　　因为14=3×4+2，所以把14拆成3、3、3、3、2时，积为3×3×3×3×2=162最大. 　　对最大与最小问题一要注意变