六年级下册奥数第四讲-奇妙的方格表 例题 习题 -通用版（例题含答案）

第四讲 奇妙的方格表 　　方格表是人们最熟悉最简单的图形之一，但这个简单的图形却可以说是一个广阔的数学天地，其中包含着许许多多奇妙的数学问题．许多问题看起来非常简单非常有趣，但却要用到许多数学方法，蕴含着许多深刻的道理．这些方法和道理在我们以后的学习中将经常用到． 一、计数问题 　　例1 下图中共有多少个矩形？ 　　分析 如果直接数，很容易遗漏或者重复．为了避免遗漏或重复，可以将图形中的各种矩形按形状大小分类，分别计数后再相加．在分类计数中如果能发现规律，那就更简单了． 　　解法1：在已知的方格表中，“□”共有5×3=15个，“□□”共有4×3=12个，“□□□”共有3×3＝9个，…如此进行下去，把各类矩形的个数相加，可得矩形总数为90个． 　　解法2：将各类矩形列出表来（如下图），分析各类矩形个数的算式，很容易发现规律，于是可得矩形总个数为：（1＋2+3＋4+5）×（3＋2＋1）=90个． 　格组成的正方形中都含有4个L形．因此为了求L形的个数，只需先求“田”字形的个数． 　　解：在上页的方格表的第1、2行中含有“田”字形 4个，第2、3行中也含4个，共有“田”字形8个，每个“田”字形对应4个L形，因此共有L形4×8=32个． 　　说明：计数最基本的方法是分类讨论．如果在分类讨论中发现规律，就可以改进算法．例2中的计数方法利用了对应的思想．当直接计算某一事物的个数有困难时，往往可以先转化成计算另一事物的个数，然后再研究这两个数，可以先计算2×3的矩形共有多少个，然后由每个2×3的矩形中都10×4=40个．在例1中计算矩形个数还有一些更高明的方法，这些方法将在中学里学到． 8×8的方格表，结果如何？ 　　解：如图，在4×4的方格表中放下3个L形，即不能再放下一个L形了． 　　如果只放了两个L形，那么可以证明总还能再放下一个L形．因为每个“田”字形内至少盖住两格后才不再能放下L形，而4×4的方格表中共有4个不相重叠的“田”字形，至少应盖住2×4=8格后，才不再能放一个L形，如果只放了两个L形，仅仅盖住6格，所以总还能再放一个L形． 　　从以上两步，可以看出4×4的方格表中至少放上3个L形后，才能使这一表中不再能放下一个L形． 　　在6×6的方格表中有9个不相重叠的“田”字形，每个“田”字形至少盖住两格，才不再能放下一个L