小升初数学总复习归类训练-主题五鸽巢理论抽屉理论-通用版

主题五、鸽巢理论(抽屉理论) 原则1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的物体。 这里的n是一个自然数，“多于n个”是指至少有“n + 1个”，应用反证法很容易证明原则1。[来源:学.科.网] 原则2：把多于m×n个的物体放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有m＋1个或m＋1以上的物体。 原则2也容易理解。如果每个抽屉里都有m个物体，物体数量也只有m×n个，现在物体总数比m×n多，自然会有一个抽屉里有m＋1个或m＋1以上的物体。 1． 400人中至少有两个人的生日相同. 　　解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有两人的生日相同. 　　又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同. 　　“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。” 　　“从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。” 2． 幼儿园买来了不少兔、猫、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理. 解：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、猫），（兔、狗），（猫、猫），（猫、狗），（狗、狗）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同. 　　上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.） 　　[来源:Zxxk.Com] 3． 对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除. 证明：∵任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉： 　　[0]，[1]，[2] 　　①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中(即抽屉中分别为含有余数为0，1，2的数)，我们从这三个抽屉中各取1个(如1~5中取3，4，5)，其和(3+4+5=12)必能被3整除. 　　②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有3个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3个自然数之和是3的倍数. 　　③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3个自然数之和能被3整除. 4． 10的倍数，只是仅有7个自然数，似不便运用抽屉原则，再作调整：[6]，[7]，[8]， [9]四个抽屉分别与[4]，[3]，[2]，[1]合并，则可保证至少有一个抽屉里有两个数，它们的和或差是10的倍数. [来源:学&科&网Z&X&X&K] 5． 九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为2：3的梯形，证明：这九条直线中至少有三条经过同一点.[来源:Z|xx|k.Com] 证明：如图，设PQ是一条这样的直线，作这两个梯形的中位线MN[来源:学科网] ∵这两个梯形的高相等 ∴它们的面积之比等于中位线长的比，即|MH|∶|NH|[来源:学.科.网] ∴点H有确定的位置 （它在正方形一对对边中点的联机上，并且|MH|∶|NH|＝２∶３）. 由几何上的对称性，这种点共有四个，（即图中的H、J、I、K）.已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须经过H、J、I、K这四点中的一点.把H、J、I、K看成四个抽屉，九条直线当成９个物体，即可得出必定有３条分割线经过同一点. 6． 边长为1的正方形中，任意放入9个点，求证这9个点中任取3个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过 . 解：将边长为1的正方形等分成边长为 的四个小正方形，视这四个正方形为抽屉，9个点任意放入这四个正方形中，据形式2，必有三点落入同一个正方形内.现特别取出这个正方形来加以讨论.把落在这个正方形中的三点记为D、E、F.通过这三点中的任意一点（如E）作并行线，如图可知： S△DEF＝S△DEG＋S△EFG≤ ×h＋ ＝ ＝ 7． 正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明：正方体一定有三个面颜色相同. 证明：把两种颜色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=2×2+2，根据原理二，至少有三个面涂上相同的颜色.[来源:学&科&网Z&X&X&K] 8． 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子；证明：这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 分析与解答：首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.根据抽屉原理，至少有两