专题1.4空间向量的应用-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.4 空间向量的应用 一、空间向量研究距离问题 点到直线的距离:设过点P的直线l的方向向量为单位向量n,A为直线l外一点,点A到直线l的 距离d= 点到平面的距离:设P为平面α内的一点,n为平面α的法向量,A为平面α外一点,点A到平面α的距离d= 二、空间向量研究夹角问题 1.两条异面直线a,b的方向向量分别为a,b,其夹角为θ,则cos φ=|cos θ|=　　　　(其中φ为异面直线a,b所成的角). 两条异面直线所成的角φ的取值范围是　　　　.  2. 直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,向量e与n的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=　　　　.  直线和平面所成的角φ的取值范围是　　　　. 3. AB,CD是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小为<,>. n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小为<n1,n2>(或π-<n1,n2>).二面角的平面角的取值范围是　　　　.  一、 二、　 0<φ≤ 　 0≤φ≤ [0,π] 帮—重点 空间向量计算距离以及夹角 帮—难点 通过空间向量计算各种夹角 帮—易错 空间向量计算距离和夹角 1．空间向量研究距离问题 （1）点到直线距离：d= （2）点到平面的距离d= 如图，在四棱锥中，侧面是边长为4的正三角形，底面为正方形，侧面底面，为平面上的动点，且满足，则点到直线的最远距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系 则, 设， , , ，整理得 为底面内以为圆心，以为半径的圆上的一个动点 则点到直线的最远距离为 故选B 【名师点睛】本题考查了运动点的轨迹问题，需要建立空间直角坐标系，结合题意先求出运动点的轨迹，然后再求出点到线的距离问题. 如图，棱长为1的正方体，是底面的中心，则到平面的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图建立空间直角坐标系，则： 由于平面平面 ，又， 平面 故平面的一个法向量为： 到平面的距离为： 故选B 【名师点睛】本题考查了点到平面距离的向量表示，考查