3.3 幂函数-2020-2021学年高一数学考点讲解练（人教A版2019必修第一册）

3.3 幂函数 考点讲解 考点1：幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 【例1】　已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 【方法技巧】 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 【针对训练】 1.（1）在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 考点2：幂函数的图象及应用 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象如图所示： 【例2】　点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有： （1）f(x)>g(x)；（2）f(x)＝g(x)；（3）f(x)<g(x)． 【方法技巧】 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 （1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． （2）依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断． 【针对训练】 2.（1）若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c （2）函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) A　　　　B　　　　　C　　　　D 考点3：幂函数性质的综合应用 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，增函数 x∈(－∞，0]时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞)时，减函数 x∈(－∞，0)时，减函数 [探究问题] 1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？ 提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减． 2．23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 提示：23.1和23.2可以看作函数f(x)＝2x的两个函数值，因为函数f(x)＝2x单调递增，所以23.1＜23.2. 3．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2. 【例3】　比较下列各组中幂值的大小： （1）30.8，30.7；（2）0.213，0.233；（3），； （4），，. 【变式分析】 把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系： （1）与； （2）与； （3）与 【方法技巧】 比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同．若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的 考点过关 一、选择题 1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　) A.　　　　　　 B．1 C. D．2 2．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　) A. ① ② ③ ④ B.① ② ③ ④ C.① ② ③ ④ D.① ② ③ ④ 3．幂函数的图象过点(3 )，则它的单调递增区间是(　　) A．[－1，＋∞)　　 B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0) 4．设a∈，则使函数y＝xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是(　　)[来源:Zxxk.Com] A．1，3 B．－1，1 C．－1，3 D．－1，1，3 5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a 6．给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3； ④f(x)＝；⑤f(x)＝.其中满足条件>(x1>x2>0)的函数的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空