第一章第二节 充分条件与必要条件 全称量词与存在量词（综合训练·能力提升）-2021新高考数学【导学教程】一轮总复习

第二节　充分条件与必要条件　全称量词与存在量词 一、选择题 1.(2019·湖北重点中学联考)命题“∀x∈R，总有x2＋2＞0”的否定是(　　) A.“∀x∉R，总有x2＋2＞0” B.“∀x∈R，总有x2＋2≤0” C.“∃x∈R，使得x2＋2＞0” D.“∃x∈R，使得x2＋2≤0” 解析　命题“∀x∈R，总有x2＋2＞0”是全称命题，其否定为特称命题，所以该命题的否定为“∃x∈R，总有x2＋2≤0”.故选D. 答案　D 2.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2. 当x≤2时不一定有0≤x≤2， 而当0≤x≤2时一定有x≤2， ∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件. 答案　B 3.若“x>5”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围为(　　) A.a>5　 　 B.a≥5 　　 C.a<5　 　 D.a≤5 解析　由x>5是x>a的充分条件知，{x|x>5}⊆{x|x>a}.∴a≤5.故选D. 答案　D 4.(2019·北京)设函数f(x)＝cos x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　∵f(x)＝cos x＋bsin x为偶函数， ∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)， 即cos(－x)＋bsin(－x)＝cos x＋bsin x， ∴2bsin x＝0.由x的任意性，得b＝0. 故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立. 反过来，若b＝0，则f(x)＝cos x是偶函数.充分性成立. ∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.故选C. 答案　C 5.(多选题)(2020·贵阳调研)以下四个命题中，假命题是(　　) A.∃x∈(0，π)，使得sin x＝tan x B.“∀x∈R，x2＋x＋1＞0”的否定是“∃x0∈R，x＋x0＋1＜0” C.∀θ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋θ)都不是偶函数 D.△ABC中，“sin A＋sin B＝cos A＋cos B”是“C＝”的充要条件 解析　由sin x＝tan x，得sin x＝， ∵x∈(0，π)，∴sin x≠0，∴cos x＝1， 当x∈(0，π)时，不存在x满足cos x＝1， 故A中的命题为假命题； “∀x∈R，x2＋x＋1＞0”的否定为“∃x0∈R，x＋x0＋1≤0”，故B中的命题为假命题； 当θ＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)为偶函数，故C中的命题为假命题； sin A＋sin B＝cos A＋cos B⇔sin A－cos A＝cos B－sin B⇔sin，故D中的命题为真命题.⇔C＝⇔A＋B＝＝sin 答案　ABC 二、填空题 6.已知命题p：“∃x0∈R，ex0－x0－1≤0”，则綈p为________. 解析　根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1＞0”. 答案　“∀x∈R，ex－x－1＞0” 7.若命题“∀x∈(0，＋∞)，x＋≥m”是假命题，则实数m的取值范围是________. 解析　由题意得，命题“∃x0∈(0，＋∞)，x0＋＜m”是真命题. ∵x∈(0，＋∞)时，x＋≥2，∴m∈(2，＋∞). 答案　(2，＋∞) 8.若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合下列条件者，用序号填空： (1)“使a，b都为0”的必要条件是________； (2)“使a，b都不为0”的充分条件是________； (3)“使a，b至少有一个为0”的充要条件是________. 解析　①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或 ④ab>0⇔即a，b都不为0.或 答案　(1)①②③　(2)④　(3)① 三、解答题 9.已知命题p：关于x的不等式ax＞1(a＞0且a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果命题p和q中一真一假，p∧q为假命题，求实数a的取值范围. 解析　由关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1； 由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R， 知不等式ax2－x＋a＞0的解集为R， 则.解得a＞ 因为p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”， 故或 解得a≥1或0＜a≤， 故实数a的取值范围是∪[1，＋∞). 10.已