第一章第四节 基本不等式及其应用（综合训练·能力提升）-2021新高考数学【导学教程】一轮总复习

第四节　基本不等式及其应用 A组　基础达标 一、选择题 1.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A.a2＋b2>2ab　　　　　 B.a＋b≥2 C.≥2＋ D.>＋ 解析　因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A错误. 对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误. 对于D，因为ab>0， 所以＝2.≥2 ＋ 答案　D 2.在下列各函数中，最小值为2的函数是(　　) A.y＝x＋(x≠0) B.y＝cos x＋ C.y＝(x∈R) D.y＝ex＋－2(x∈R) 解析　对于A项，当x<0时，y＝x＋≤－2，故A错； 对于B项，因为0<x<，所以0<cos x<1， 所以y＝cos x＋≥2中等号不成立，故B错； 对于C项，因为≥2， 所以y＝≥2中等号也不能取到，故C错；＋＝ 对于D项，因为ex>0， 所以y＝ex＋－2＝2， －2≥2 当且仅当ex＝2，即x＝ln 2时等号成立.故选D. 答案　D 3.已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则xy(　　) A.有最大值为1　　　　 B.有最小值为1 C.有最大值为 D.有最小值为 解析　因为x>0，y>0，x＋2y＝2， 所以x＋2y≥2， ，xy≤，即2≥2 当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立. 所以xy有最大值，且最大值为. 答案　C 4.已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝的最小值是(　　)＋ A.　　　　 D.5　　　　 B.4　　　　 C. 解析　由a＞0，b＞0，a＋b＝2知 ， ≥＝(a＋b)＝＋ 当且仅当时等号成立，故选C.，即b＝2a＝＝ 答案　C 5.(多选题)下列四个函数中，最小值为2的是(　　) A.y＝sin x＋ B.y＝ln x＋(x＞0，x≠1) C.y＝ D.y＝4x＋4－x 解析　对于A，因为0＜x≤， 所以0＜sin x≤1，y＝sin x＋≥2， 当且仅当sin x＝，即sin x＝1时取等号，符合题意； 对于B，当0＜x＜1时，ln x＜0， 此时y＝ln x＋为负值，最小值不是2，不符合题意； 对于C，y＝， ＋＝ 设t＝， ，则t≥ 则y≥，其最小值不是2，不符合题意；＝＋ 对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋＝2， ≥2 当且仅当x＝0时取等号，其最小值为2，符合题意. 答案　AD 二、填空题 6.函数y＝2x＋(x>1)的最小值为________. 解析　因为y＝2x＋(x>1)， 所以y＝2x＋＋2＝2(x－1)＋ ≥2＋2＋2.＝2 当且仅当x＝1＋时取等号， 故函数y＝2x＋＋2.(x>1)的最小值为2 答案　2＋2 7.已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则的最小值为________.＋ 解析　由a＋2b＝3得b＝1， a＋ 所以＝＋ ＝.＝＋2 ≥＋＋ 当且仅当a＝2b＝时取等号. 答案　 8.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨. 解析　每次都购买x吨，则需要购买次. ∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元， ∴一年的总运费与总存储费用之和为4×＋4x万元. ∵4×＋4x≥160， 当且仅当4x＝时取等号， ∴x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小. 答案　20 三、解答题 9.(1)当x<的最大值；时，求函数y＝x＋ (2)设0<x<2，求函数y＝的最大值. 解析　(1)y＝＋(2x－3)＋ ＝－.＋ 当x<时，有3－2x>0， ∴＝4， ≥2 ＋ 当且仅当时取等号.，即x＝－＝ 于是y≤－4＋， ＝－ 故函数的最大值为－. (2)∵0<x<2，∴2－x>0， ∴y＝·＝ ≤， ＝· 当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号， ∴当x＝1时，函数y＝.的最大值为 10.已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值. 解析　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＝1， ＋ 又x>0，y>0， 则1＝，得xy≥64， ＝≥2＋ 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立. 所以xy的最小值为64. (2)由2x＋8y－xy＝0，得＝1， ＋ 则x＋y＝＋·(x＋y)＝10＋ ≥10＋2 ＝18. 当且仅当x＝12且y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. B组　能力提升 11.当0<m<≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为(　　)＋时，若 A.[－2，0)∪(0，4] B.[－4，0)∪(0，2] C.[－4，2] D.[－2，4] 解析　因为0<m<＝××2m×(1－2m)≤，所以 ， 所以≥8， ＝＋ 又≥k2－2k恒成立， ＋ 所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4. 所以实数