第二章第二节第2课时 函数的奇偶性与周期性（综合训练·能力提升）-2021新高考数学【导学教程】一轮总复习

第2课时　函数的奇偶性与周期性 A组　基础达标 一、选择题 1.(2019·衡阳月考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A.y＝　　　　　 　　 B.y＝e－x C.y＝－x2＋1 D.y＝lg|x| 解析　对于A，y＝是奇函数且在(0，＋∞)上单调递减； 对于B，y＝e－x是非奇非偶函数，在(0，＋∞)上单调递减； 对于C，y＝－x2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减； 对于D，y＝lg|x|是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增.故选C. 答案　C 2.(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　) A.e－x－1 B.e－x＋1 C.－e－x－1 D.－e－x＋1 解析　当x＜0时，－x＞0， ∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1. 又∵f(x)为奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.故选D. 答案　D 3.(2020·辽宁名校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为(　　) A.4　 　 　 B.－4　 　 　 C.6　 　 　 D.－6 解析　∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝30＋m＝0，∴m＝－1. ∴x≥0时，f(x)＝3x－1，∴f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－(5－1)＝－4.故选B. 答案　B 4.(2019·河南名校测评)设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)，则f＝(　　) A.－ D. C. B.－ 解析　因为f(x)的周期为4，且为奇函数， 所以f.＝－×＝－＝－f＝f＝f 答案　A 5.(多选题)设函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，且f(－2)＝－1，当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，有＞0，下列命题正确的是(　　) A.f(2 024)＝－1 B.x＝－6是y＝f(x)图象的一条对称轴 C.y＝f(x)在[－9，－6]上是增函数 D.函数y＝f(x)在[－9，9]上有4个零点 解析　由函数f(x)为偶函数可得f(－3)＝f(3)， ∵f(x＋6)＝f(x)＋f(3)， 令x＝－3可得，f(3)＝f(－3)＋f(3)＝2f(3)， ∴f(3)＝0， ∴f(x＋6)＝f(x)＋f(3)＝f(x)，即f(x＋6)＝f(x). 又f(－2)＝－1. f(2 024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝f(－2)＝－1， ∴f(2 024)＝－1，A正确； 由(x＋6)＝f(x)，可知6为函数的周期， 则－12为函数的周期，∴f(－12＋x)＝f(x)＝f(－x)， 则x＝＝－6为函数的对称轴，B正确； 由x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，都有＞0， 可知函数在[0，3]上为增函数， 则函数在[－6，－3]上为增函数，又x＝－6为对称轴，则在[－9，－6]上为减函数，C不正确； ∵f(3)＝0， ∴f(－3)＝0，f(9)＝f(6＋3)＝0，f(－9)＝0，结合函数的周期为6及函数的增减性可得方程f(x)＝0在[－9，9]上仅有4个根，D正确.故选A、B、D. 答案　ABD 二、填空题 6.(2019·北京)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数).若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________. 解析　∵f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)的定义域为R， ∴f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1. ∵f(x)＝ex＋ae－x，∴f′(x)＝ex－ae－x＝ex－. ∵f(x)是R上的增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立， 即ex≥在R上恒成立，∴a≤e2x在R上恒成立. 又e2x＞0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]. 答案　－1　(－∞，0] 7.(2019·临川期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0，2)时，f(x)＝－x2，则f＝________. 解析　因为f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)， 所以f(x)是周期为4的函数， 所以f， ＝f＝f 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f， ＝＝－＝－f 所以f.＝ 答案　 8.若函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝lg(x＋1)，则满足f(2x＋1)＜1的实数x的取值范围是________. 解析　∵当x≥0时，f(x)＝lg(x＋1)， ∴f(9)＝1，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增. ∵f(x)是偶函数， ∴由f(2x＋