第二章第三节 二次函数与幂函数（综合训练·能力提升）-2021新高考数学【导学教程】一轮总复习

第三节　二次函数与幂函数 A组　基础达标 一、选择题 1.(2020·济宁联考)下列命题正确的是(　　) A.y＝x0的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) C.若幂函数y＝xα是奇函数，则y＝xα是增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 解析　A中，点(0，1)不在直线上，A错；B中，y＝xα，当α＜0时，图象不过原点，B错；C中，当α＜0时，y＝xα在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，C错.幂函数图象一定过第一象限，一定不过第四象限，D正确. 答案　D 2.函数y＝f(x)＝x的大致图象是(　　) 解析　显然f(－x)＝－f(x)，则该函数是奇函数. 当0＜x＜1时，x＞x； 当x＞1时，x＜x. 故只有B选项符合. 答案　B 3.已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)，并且α，β是方程f(x)＝0的两根(α＜β)，则实数a，b，α，β的大小关系是(　　) A.α＜a＜b＜β　　　　　　 B.a＜α＜β＜b C.a＜α＜b＜β D.α＜a＜β＜b 解析　易知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)的图象是开口向上的抛物线，因为f(a)＝f(b)＝－2＜0，f(α)＝f(β)＝0，所以a∈(α，β)，b∈(α，β)，所以α＜a＜b＜β. 答案　A 4.若命题“ax2－2ax＋3＞0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A.a＜0或a≥3 B.a≤0或a≥3 C.a＜0或a＞3 D.0＜a＜3 解析　若ax2－2ax＋3＞0恒成立， 则a＝0或可得0≤a＜3， 故当命题“ax2－2ax＋3＞0恒成立”是假命题时，a＜0或a≥3. 答案　A 5.(多选题)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是(　　) A.若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数 B.存在a∈R，使得f(x)为偶函数 C.若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于x＝1对称 D.若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点 解析　对于选项A，若a2－b≤0，则f(x)＝|(x－a)2＋b－a2|＝(x－a)2＋b－a2在区间[a，＋∞]上是增函数，故A正确； 对于选项B，当a＝0时，f(x)＝|x2＋b|显然是偶函数，故B正确； 对于选项C，取a＝0，b＝－2，函数f(x)＝|x2－2ax＋b|化为f(x)＝|x2－2|，满足f(0)＝f(2)，但f(x)的图象关于x＝1不对称，故C错误； 对于选项D，如图，a2－b－2＞0， 即为b－a2＜－2，即a2－b＞2， 则h(x)＝|(x－a)2＋b－a2|－2有4个零点，故D错误. 答案　AB 二、填空题 6.若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式为f(x)＝________. 解析　∵f(x)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称， ∴－a＝－，即b＝－2或a＝0. 又f(x)的值域为(－∞，4]， ∴a＝0不合题意，∴b＝－2， ∴f(x)＝－2x2＋2a2，∴2a2＝4， 故f(x)＝－2x2＋4. 答案　－2x2＋4 7.已知二次函数y＝x2＋2kx＋3－2k，则顶点位置最高时函数的解析式为________. 解析　由题意可知y＝x2＋2kx＋3－2k＝(x＋k)2－k2－2k＋3， 所以该函数的顶点坐标为(－k，－k2－2k＋3). 设顶点的纵坐标为y＝－k2－2k＋3＝－(k＋1)2＋4， 所以当k＝－1时，顶点位置最高， 此时函数的解析式为y＝x2－2x＋5. 答案　y＝x2－2x＋5 8.如果存在实数x，使得关于x的不等式ax2－4x＋a－3＜0成立，则实数a的取值范围是________. 解析　当a＝0时，原不等式变为－4x－3＜0， 解得x＞－，显然成立. 当a＞0时，需Δ＝(－4)2－4a(a－3)＞0， 即a2－3a－4＜0，解得0＜a＜4， 当a＜0时，显然成立， 综上可知，实数a的取值范围是(－∞，4). 答案　(－∞，4) 三、解答题 9.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]. (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数. 解析　(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5]， 所以当x＝1时，f(x)取得最小值1； 当x＝－5时，f(x)取得最大值37. (2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a， 因为y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数， 所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5. 故实数a的取值范