第二章第四节 指数与指数函数（综合训练·能力提升）-2021新高考数学【导学教程】一轮总复习

第四节　指数与指数函数 A组　基础达标 一、选择题 1.已知函数f(x)＝ax－1＋4的图象恒过定点P，则点P的坐标是(　　) A.(1，5)　　 B.(1，4)　　 C.(0，4)　　 D.(4，0) 解析　令x－1＝0⇒x＝1，又f(1)＝5， 故图象恒过定点P(1，5). 答案　A 2.函数y＝ax－(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　) 解析　若a＞1时，y＝ax－在R上是增函数， 当x＝0时，y＝1－∈(0，1)，A，B不满足. 若0＜a＜1时，y＝ax－在R上是减函数， 当x＝0时，y＝1－＜0，C错，D项错误. 答案　D 3.若a＝π－2，b＝aa，c＝a，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c＞b＞a B.b＞c＞a C.b＞a＞c D.a＞b＞c 解析　由题意可知a＝π－2＝∈(0，1)，即a＜1， 则函数f(x)＝ax单调递减，则aa＞a1，即aa＞a. 由于aa＞a，所以结合函数的单调性可得aaa＜aa， 即b＞c， 由于0＜a＜1，故aa＜1，结合函数的单调性可得aaa＞a1，即c＞a. 综上可得，a，b，c的大小关系为b＞c＞a. 答案　B 4.若对于任意x∈(－∞，－1]，都有(3m－1)2x＜1成立，则m的取值范围是(　　) A. B. C.(－∞，1) D.(－∞，1] 解析　∵2x＞0， ∴不等式(3m－1)2x＜1对于任意x∈(－∞，－1]恒成立等价于3m－1＜对于任意x∈(－∞，－1]恒成立.＝ ∵x≤－1，∴＝2，∴3m－1＜2， ≥ 解得m＜1，∴m的取值范围是(－∞，1).故选C. 答案　C 5.(多选题)已知实数a，b满足等式2 018a＝2 019b，下列选项有可能成立的是(　　) A.0＜b＜a B.a＜b＜0 C.0＜a＜b D.b＜a＜0 解析　实数a，b满足等式2 018a＝2 019b， 即y＝2 018x在x＝a处的函数值和y＝2 019x在x＝b处的函数值相等， 由下图可知A，B均有可能成立. 答案　AB 二、填空题 解析　 答案　 7.函数y＝＋1在区间[－3，2]上的值域是________.－ 解析　令t＝， ，因为x∈[－3，2]，所以t∈ 故y＝t2－t＋1＝.＋ 当t＝；时，ymin＝ 当t＝8时，ymax＝57. 故所求函数的值域为. 答案　 8.设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是________. 解析　由于g(x)＝a|x＋b|是偶函数，知b＝0， 又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上单调递增，得a＞1. 则g(b－1)＝g(－1)＝g(1)， 故g(a)＞g(1)＝g(b－1). 答案　g(a)＞g(b－1) 三、解答题 9.已知函数f(x)＝为奇函数. (1)求a的值； (2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明. 解析　(1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R； 所以f(0)＝＝0，所以a＝－1. (2)由(1)知f(x)＝，函数f(x)在定义域R上单调递增.＝1－ 证明：设x1＜x2∈R， 则f(x1)－f(x2)＝＋1）).＋1）（3）,（3－3 因为x1＜x2，所以3＜0， －3，所以3＜3 所以f(x1)＜f(x2)， 所以函数f(x)在定义域R上单调递增. 10.已知函数f(x)＝x3(a＞0，且a≠1). (1)讨论f(x)的奇偶性； (2)求a的取值范围，使f(x)＞0在定义域上恒成立. 解析　(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0， 所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}. 对于定义域内任意x，有 f(－x)＝(－x)3(－x)3＝ ＝x3＝f(x)， (－x)3＝ ∴函数f(x)是偶函数. (2)由(1)知f(x)为偶函数， ∴只需讨论x＞0时的情况，当x＞0时，要使f(x)＞0， 则x3＞0， 即＞0，则ax＞1.＞0，即＋ 又∵x＞0，∴a＞1. ∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0. B组　能力提升 11.(2020·合肥检测)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.(－2，1) B.(－4，3) C.(－3，4) D.(－1，2) 解析　原不等式变形为m2－m＜， 又y＝在(－∞，－1]上是减函数， 知＝2.≥ 故原不等式恒成立等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜2. 答案　D 12.已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0，4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为(　　) 解析　∵x∈(0，4)，∴x＋1>1， ∴f(x)＝x－4＋ ＝x＋1＋ －5＝1， －5≥2 当且仅当x＝2时取等号，此时函数f(