第二章第五节 对数与对数函数（综合训练·能力提升）-2021新高考数学【导学教程】一轮总复习

第五节　对数与对数函数 A组　基础达标 一、选择题 1.(2019·肇庆二模)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则(　　) A.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是增函数 B.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是增函数 C.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是减函数 D.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是减函数 解析　由得x∈(－10，10)， 且f(x)＝lg(100－x2). ∴f(x)是偶函数， 又t＝100－x2在(0，10)上单调递减，y＝lg t在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0，10)上单调递减. 答案　D 2.(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　) A.a＜b＜c　　　　　　　 B.a＜c＜b C.c＜a＜b D.b＜c＜a 解析　因为a＝log20.2＜0，b＝20.2＞1， 0＜c＝0.20.3＜1，所以b＞c＞a.故选B. 答案　B 3.已知函数f(x)在区间[－2，2]上单调递增，若f(log2m)＜f[log4(m＋2)]成立，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C.(1，4] D.[2，4] 解析　不等式即为f(log4m2)＜f[log4(m＋2)]， ∵函数f(x)在区间[－2，2]上单调递增， ∴即 解得≤m＜2， ∴实数m的取值范围是.故选A. 答案　A 4.(2019·北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)lg A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10－10.1 解析　设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2， 则太阳与天狼星的亮度分别为E1，E2， 由题意知m1＝－26.7，m2＝－1.45， 代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝， lg 所以lg＝1010.1.故选A.＝10.1，所以 答案　A 5.(多选题)在同一直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝loga(a＞0且a≠1)的图象可能是(　　) 解析　由函数y＝a－x，y＝loga， 当a＞1时，可得y＝a－x是递减函数，图象恒过(0，1)点， 函数y＝loga， ，是递增函数，图象恒过 当1＞a＞0时，可得y＝a－x是递增函数，图象恒过(0，1)点， 函数y＝loga；，是递减函数，图象恒过 ∴满足要求的图象为A、C.故选A、C. 答案　AC 二、填空题 6.(2019·宣城联考)27＝________.－log8＋ 解析　原式＝3＝10.＋＋2 答案　10 7.(2020·昆明诊断)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)＜0的x的取值范围是________. 解析　由f(x)是奇函数可得a＝－1， ∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1). 由f(x)＜0，可得0＜＜1，∴－1＜x＜0. 答案　(－1，0) 8.(2019·武汉调研)已知函数f(x)＝若f(2－a)＝1，则f(a)＝________. 解析　当2－a＜2，即a＞0时， f(2－a)＝－log2(1＋a)＝1. 解得a＝－，不合题意. 当2－a≥2，即a≤0时，f(2－a)＝2－a－1＝1， 即2－a＝2，解得a＝－1， 所以f(a)＝f(－1)＝－log24＝－2. 答案　－2 三、解答题 9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝logx. (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(x2－1)＞－2. 解析　(1)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝log(－x). 因为函数f(x)是偶函数， 所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)， 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝ (2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数， 所以不等式f(x2－1)＞－2转化为f(|x2－1|)＞f(4). 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x2－1|＜4，解得－， ＜x＜ 即不等式的解集为(－).， 10.已知函数f(x)＝loga(3－ax). (1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由. 解析　(1)∵a＞0且a≠1，设t(x)＝3－ax， 则t(x)＝3－ax为减函数， x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a， 当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义， 即x∈[0，2]时，3－ax＞0恒成立. ∴3－2a＞0.∴a＜