第二章第八节 函数模型及其应用（综合训练·能力提升）-2021新高考数学【导学教程】一轮总复习

第八节　函数模型及其应用 A组　基础达标 一、选择题 1.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为图中的(　　) 解析　由题意得关系式为h＝20－5t(0≤t≤4).图象应为B项. 答案　B 2.某种动物的繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到(　　) A.300只　 　 B.400只　 　 C.500只　 　 D.600只 解析　由题意，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100， 所以y＝100log2(x＋1)， 当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300， 故到第7年它们发展到300只. 答案　A 3.设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0＜x＜100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是(　　) A.15 B.16 C.17 D.18 解析　由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，则由.解得0＜x≤ 因为x∈N*，所以x的最大值为16. 答案　B 4.某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　) A.10.5万元 B.11万元 C.43万元 D.43.025万元 解析　设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1＋32.因为x∈[0，16]，且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.＋0.1× 答案　C 5.(多选题)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y(单位：千克)与时间x(单位：小时)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是(　　) A.在前三小时内，每小时的产量逐步增加 B.在前三小时内，每小时的产量逐步减少 C.最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同 D.最后两小时内，该车间没有生产该产品 解析　由该车间5小时来某种产品的总产量y(千克)与时间x(小时)的函数图象，得前三小时的年产量逐步减少，故A错误，B正确；后两小时均没有生产，故C错误，D正确.故选B、D. 答案　BD 二、填空题 6.已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为________. 解析　设这个广场的长为x米， 则宽为米. 所以其周长为l＝2≥800， 当且仅当x＝200时取等号. 答案　800 7.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，则截取的矩形铁片面积的最大值为________. 解析　依题意知， ＝ 即x＝(24－y)(8≤y＜24)， 所以阴影部分的面积S＝xy＝(24－y)·y ＝(y－12)2＋180， (－y2＋24y)＝－ 当y＝12时，S取得最大值180.故答案为180. 答案　180 8.一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一. 解析　当t＝8时，y＝ae－8b＝.a，所以e－8b＝ 容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即y＝ae－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b， a，e－bt＝ 则t＝24. 所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一. 答案　16 三、解答题 9.(2019·杨浦一模)如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开. (1)设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域； (2)怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？ 解析　(1)设平行于墙的边长为a， 则篱笆总长l＝3x＋a，即a＝l－3x， ∴场地面积y＝x(l－3x)，x∈. (2)y＝x(l－3x)＝－3x2＋lx＝－3， ＋ x∈， 时，ymax＝，∴当x＝ 故当场地垂直于墙的边长为.