第三章第一节 导数的概念及运算（综合训练·能力提升）-2021新高考数学【导学教程】一轮总复习

第三章 导数及其应用 第一节　导数的概念及运算 A组　基础达标 一、选择题 1.下列求导数的运算中错误的是(　　) A.(3x)′＝3xln 3 B.(x2ln x)′＝2xln x＋x C. D.(sin x·cos x)′＝cos 2x′＝ 解析　因为，C项错误.′＝ 答案　C 2.(2019·重庆月考)已知函数f(x)＝g(x)＋2x且曲线y＝g(x)在x＝1处的切线为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为(　　) A.2　 　　　 B.4　 　　　 C.6　 　　　 D.8 解析　∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2.∵函数f(x)＝g(x)＋2x，∴f′(x)＝g′(x)＋2，∴f′(1)＝g′(1)＋2，∴f′(1)＝2＋2＝4，即曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为4.故选B. 答案　B 3.(2020·福州模拟)已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)的值等于(　　) A.1 B. C.3 D.0 解析　由点M(1，f(1))在切线上，得f(1)＝， ＋2＝ 由切点处的导数值为切线斜率，得f′(1)＝， 则f(1)＋f′(1)＝3.故选C. 答案　C 4.已知过点A(a，0)作曲线C：y＝xex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，－4)∪(0，＋∞) B.(0，＋∞) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1) 解析　设切点为(x0，x0e)， 对y＝xex求导得y′＝(x＋1)·ex， ∴y′|， ＝(x0＋1)·e 则切线方程为y－x0e(x－x0)＝x0， ＝(x0＋1)·e ∵切线过点A(a，0)， ∴－x0e,x0＋1)， (a－x0)，∴a＝＝(x0＋1)·e 由题意知方程x－ax0－a＝0有两个解， 则有Δ＝a2＋4a＞0⇒a＞0或a＜－4.故选A. 答案　A 5.(多选题)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)＝3cos x B.f(x)＝x3＋x C.f(x)＝x＋ D.f(x)＝ex＋x 解析　对于A，f(x)＝3cos x，其导数f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意； 对于B，f(x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意； 对于C，f(x)＝x＋，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；，其导数f′(x)＝1－ 对于D，f(x)＝ex＋x，其导数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意.故选B、C. 答案　BC 二、填空题 6.(2020·江西重点中学联考)已知曲线y＝在x＝1处的切线l与直线2x＋3y＝0垂直，则实数a的值为________.＋ 解析　因为y＝f(x)＝， ＋ 所以f′(x)＝－， ＋ 所以曲线y＝.在x＝1处的切线l的斜率k＝f′(1)＝－1＋＋ 直线2x＋3y＝0的斜率k′＝－. 因为切线l与直线2x＋3y＝0垂直， 所以.＝－1，得a＝× 答案　 7.(2019·深圳调研)曲线y＝ex－1＋x的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为________. 解析　设切点坐标为(x0，e＋x0)，∵y′＝ex－1＋1， ∴切线的斜率k＝e＋1， 故切线方程为y－e＋1)(x－x0).－x0＝(e ∵切线过原点， ∴0－e＋1)(0－x0)， －x0＝(e 解得x0＝1，将x0＝1代入y－e－x0 ＝(e＋1)(x－x0)， 可得切线方程为y＝2x， 故答案为y＝2x. 答案　y＝2x 8.已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________. 解析　f(1)＝a，切点为(1，a).f′(x)＝a－， 则切线的斜率为f′(1)＝a－1， 切线方程为y－a＝(a－1)(x－1)， 令x＝0得出y＝1，故l在y轴上的截距为1. 答案　1 三、解答题 9.若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围. 解析　∵f(x)＝x2－ax＋ln x，定义域为(0，＋∞)， ∴f′(x)＝x－a＋. ∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点， 即x＋－a＝0有解， ∴a＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号). 10.已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求： (1)斜率最小的切线方程； (2)切线l的倾斜角α的取值范围. 解析　(1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，