第三章第二节第1课时 导数与函数的单调性（综合训练·能力提升）-2021新高考数学【导学教程】一轮总复习

第二节　导数的应用 第1课时　导数与函数的单调性 A组　基础达标 一、选择题 1.函数f(x)＝xln x，则(　　) A.在(0，＋∞)上递增　　　 B.在(0，＋∞)上递减 C.在上递减上递增 D.在 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1， 令f′(x)>0得x>，故选D.，令f′(x)<0得0<x< 答案　D 2.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A.(－∞，2) 　 B.(0，3)　 　 C.(1，4)　 　 D.(2，＋∞) 解析　f′(x)＝(x－2)ex，令f′(x)>0，得x>2，即f(x)的单调递增区间是(2，＋∞). 答案　D 3.已知f(x)＝，则(　　) A.f(2)＞f(e)＞f(3) B.f(3)＞f(e)＞f(2) C.f(3)＞f(2)＞f(e) D.f(e)＞f(3)＞f(2) 解析　f(x)的定义域是(0，＋∞)，∵f′(x)＝， ∴x∈(0，e)，f′(x)＞0，x∈(e，＋∞)，f′(x)＜0， 故x＝e时，f(x)max＝f(e)， 又f(2)＝， ＝，f(3)＝＝ 则f(e)＞f(3)＞f(2). 答案　D 4.(2020·保定模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　) A.(－1，1) B.(－1，＋∞) C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞) 解析　由f(x)＞2x＋4，得f(x)－2x－4＞0， 设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2， 因为f′(x)＞2，所以F′(x)＞0在R上恒成立， 所以F(x)在R上单调递增. 又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0， 故不等式f(x)－2x－4＞0等价于F(x)＞F(－1)， 所以x＞－1. 答案　B 5.(多选题)若函数exf(x)(e＝2.718…，e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质.给出下列函数：不具有M性质的为(　　) A.f(x)＝ln x B.f(x)＝x2＋1 C.f(x)＝sin x D.f(x)＝x3 解析　对于A，f(x)＝ln x，则g(x)＝exln x， 则g′(x)＝ex，函数先递减再递增； 对于B，f(x)＝x2＋1，则g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋1)， g′(x)＝ex(x2＋1)＋2xex＝ex(x2＋1)＞0在实数集R上恒成立， ∴g(x)＝exf(x)在定义域R上是增函数； 对于C，f(x)＝sin x，则g(x)＝exsin x， g′(x)＝ex(sin x＋cos x)＝， exsin 显然g(x)不单调； 对于D，f(x)＝x2，则g(x)＝exf(x)＝exx3， g′(x)＝exx3＋3exx2＝ex(x3＋3x2)＝exx2(x＋3)， 当x＜－3时，g′(x)＜0，∴g(x)＝exf(x)在定义域R上先减后增； ∴具有M性质的函数的序号为B，不具有M性质的函数的序号为A、C、D.故选A、C、D. 答案　ACD 二、填空题 6.已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为________. 解析　因为f(x)＝(－x2＋2x)ex， 所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex ＝(－x2＋2)ex. 令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0， 因为ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－， ＜x＜ 所以函数f(x)的单调递增区间为(－).， 答案　(－)， 7.若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________. 解析　由题意知f′(x)＝3ax2＋6x－1，由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)＝0有2个不同的实根.需满足a≠0，且Δ＝36＋12a＞0，解得a＞－3， 所以实数a的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞). 答案　(－3，0)∪(0，＋∞) 8.(2020·无锡期末)若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________. 解析　由题意知，y′＝3x2＋2x＋m.若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，则对于方程3x2＋2x＋m＝0，Δ＝4－12m≤0，即m≥.，故实数m的取值范围是 答案　 三、解答题 9.已知函数f(x)＝x.，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝－ln x－＋ (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间. 解析　(1)对f(x)求导得f′(x)＝， －－ 由f(x)在点(1，