第三章第二节第2课时 导数与函数的极值、最值（综合训练·能力提升）-2021新高考数学【导学教程】一轮总复习

第2课时　导数与函数的极值、最值 A组　基础达标 一、选择题 1.(2019·九江联考)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　) A.函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减 B.函数f(x)在x＝－1处取得极大值 C.函数f(x)在x＝－4处取得极值 D.函数f(x)只有一个极值点 解析　由导函数的图象可得，当x∈(－∞，2)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减.由于函数的单调减区间为(2，＋∞)，所以A不正确；当x＝2时，函数f(x)取得极大值，所以B不正确； 只有当x＝2时函数取得极大值，所以C不正确，D正确.故选D. 答案　D 2.(2019·湘潭二模)已知x＝是函数f(x)＝xln(ax)＋1的极值点，则a＝(　　) A.　　　　 D.2　　　　 B.1　　　　 C. 解析　由函数f(x)＝xln(ax)＋1，可得f′(x)＝ln(ax)＋1，由x＝是函数f(x)＝xln(ax)＋1的极值点， 可得ln是函数f(x)＝xln(ax)＋1的极值点.故选B.＋1＝0，解得a＝1，经验证，a＝1时，x＝ 答案　B 3.(2019·中原模拟)已知函数f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为(　　) A.2 B.2ln 2－2 C.e D.2－e 解析　f(x)＝2f′(1)ln x－x，则f′(x)＝2f′(1)－1. 令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)－1， 所以f′(1)＝1，则f(x)＝2ln x－x，f′(x)＝， －1＝ 所以函数f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，则f(x)的极大值为f(2)＝2ln 2－2. 答案　B 4.(2019·马鞍山模拟)已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f′(x)ex在区间[0，2]上的最小值为(　　)x3＋mx2＋nx＋2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)＝－ A.－3e B.－2e C.e D.2e 解析　由题意可得f′(x)＝x2＋2mx＋n， ∵f′(x)为偶函数，∴m＝0， 故f(x)＝x3＋nx＋2， ∵f(1)＝，∴n＝－3.＋n＋2＝－ ∴f(x)＝x3－3x＋2，则f′(x)＝x2－3. 故g(x)＝ex(x2－3)， 则g′(x)＝ex(x2－3＋2x)＝ex(x－1)(x＋3)， 据此可知函数g(x)在区间[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增， 故函数g(x)的极小值，即最小值为g(1)＝e1·(12－3)＝－2e.故选B. 答案　B 5.(多选题)设函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)定义域是(0，＋∞) B.x∈(0，1)时，f(x)图象位于x轴下方 C.f(x)存在单调递增区间 D.f(x)有且仅有两个极值点 解析　∵f(x)＝，∴ln x≠0，∴x＞0且x≠1， ∴f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，故A错误； 由f(x)＝， ，得f′(x)＝ 令g(x)＝xln x－1，则g′(x)＝ln x＋1，令g′(x)＝0， 则x＝时，g′(x)＞0， ，∴当0＜x＜ 当＜x＜1时，g′(x)＜0， 当0＜x＜1时，g(x)＜g－1＜0， ＝－ 即f′(x)＜0，∴f(x)在(0，1)上单调递减， ∵x→0时，f(x)→0，∴当x∈(0，1)时，f(x)图象在x轴下方，故B正确； 当x＞1时，g′(x)＞0， ∴g(x)＞g(1)＝－1，又g(2)＝2ln 2－1＞0， ∴存在x0∈(1，2)使g(x0)＝0， ∴当1＜x＜x0时，f′(x)＜0， 当x＞x0时，f′(x)＞0， ∴f(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，故C正确，D错误.故选B、C. 答案　BC 二、填空题 6.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值是________. 解析　f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3. 由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4. f′(x)＝－3x2＋6x， 由此可得f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增， ∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4. 答案　－4 7.从长为16 cm，宽为10 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，制作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3. 解析　设小正方形的边长为x cm(0＜x＜5)， 则盒子的容积V＝(10－2x)(16－2x)x ＝4x3－52x2＋160x(0＜x＜5)， V′＝12x2－104x＋160＝4(