24.2比例线-沪教版（上海）九年级数学第一学期教学案

主 题 比例线段 学习目标 1、掌握比例线段的概念有关概念和性质，运用比例线段的性质对比例式进行简单的变形 2、了解黄金分割的意义 教学内容 1、比例线段的概念 对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段． （1）如果、、、是比例线段，即（或），那么线段、是比例外项，、是比例内项． 如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项． （2）比例线段的基本性质： 1、如果，那么． 2、比例线段的比例式中，只要乘积形式不变，、、、的位置可以灵活变化． 若，则、、． （3）合比性质：如果，那么； 如果，那么； （4）等比性质：如果，那么（）． 等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形． 如果，那么（）． 2、黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 【例1】在比例尺为的地图上，量得与两地的距离是厘米，则与两地 的实际距离是 ． 【例2】东海大桥全长千米，如果东海大桥在某张地图上的长为厘米，则这张地图 的比例尺是（ ） （A） （B） （C） （D） 【例3】（1）若，，则 ； （2）若，，则 ； （3）若，，则 ． 【例4】小智发现自己的数学辅导书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为厘米， 则它的宽约为 ．（精确到百分位） 【例5】如图，已知在四边形中，点、分别在、上，． 求证：（1）；（2）． 【例6】如果和面积相等，且，那么边与边上的 高的比为（ ） （A） （B） （C） （D） 【例7】已知有三条线段的长分别为，，的线段，请再添一条线段，使这四 条线段成比例，求所添线段的长度． 【难度】★★ 【8】在中，点、分别在边、上，且， 则 ，若的周长为厘米，则的周长为 厘米． 【难度】★★ 【例9】如图，在梯形中，//，对角线、相交于点． （1）图中有哪几对三角形的面积相等？为什么？ （2）求证：． 【难度】★★ 【例10】如图，在中，，垂足为，是边上的一点，， 垂足为，，求的值． 【难度】★★ 【例11】已知线段的长度为，点P在线段上，，求线段的长． 【难度】★★ 【例12】（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长； （2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值． 【难度】★★ 【例13】如图，乐器上的一根弦厘米，两个端点、固定在乐器面板上，支撑点 是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，求的长． 【难度】★★ 【例14】如图，在矩形中截取正方形，已知是和的比例中项， ，求的长． 【难度】★★ 【例15】如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接． 在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上． （1）求线段、的长； （2）求证：； （3）请指出图中的黄金分割点． 【难度】★★★ $$ 主 题 比例线段 学习目标 1、掌握比例线段的概念有关概念和性质，运用比例线段的性质对比例式进行简单的变形 2、了解黄金分割的意义 教学内容 1、比例线段的概念 对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段． （1）如果、、、是比例线段，即（或），那么线段、是比例外项，、是比例内项． 如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项． （2）比例线段的基本性质： 1、如果，那么． 2、比例线段的比例式中，只要乘积形式不变，、、、的位置可以灵活变化． 若，则、、． （3）合比性质：如果，那么； 如果，那么； （4）等比性质：如果，那么（）． 等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形． 如果，那么（）． 2、黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 【例1】在比例尺为的地图上，量得与两地的距离是厘米，则与两地 的实际距离是 ． 【难度】★ 【答案】． 【解析】实际距离=图上距离÷比例尺，可知两地实际距离为 ，注意单位的转化． 【总结】考查应用比例尺的定义，比例尺=图上距离÷实际距离，公式转化． 【例2】东海大桥全长千米，如果东海大桥在某张地图上的长为厘米，则这张地图 的比例尺是（ ） （A） （B） （C） （D） 【难度】★ 【答案】B 【解析】比例尺=图上距离÷实际距离，比例尺=． 【总结】考查比例尺的定义，注意单位的换算． 【例3】（1）若，，则 ； （2）若，，则 ； （3）若，，则 ． 【难度】★ 【答案】（1）2:15；