专题1.1 空间向量及其运算-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.1 空间向量及其运算 一、空间向量的概念及运算 在空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量．空间向量的大小称为向量的 或 .空间向量一般用字母a，b，c…表示。 空间向量的加减运算，数乘运算. 二、空间向量的数量积运算 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量　　 　　　叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=　　 　　　,并规定零向量与任一向量的数量积为　　　 　,即　　 　　.  一、长度 模 二、|a||b|cos θ 　|a||b|cos θ 　0 　0·a=0 帮—重点 空间向量共线、共面，空间向量的数量积 帮—难点 空间向量共线、共面定理的应用 帮—易错 空间向量的运算的公式、定理运用不当 1．空间向量的共线、共面 （1）共线定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb （2）共面定理：若两个向量a，b不共线,则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb 如图，在正方体中，点分别是面对角线A1B与B1D1的中点,若=a,=b,=c,则= A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据向量的线性运算 故选D 【名师点睛】本题考查了空间向量的线性运算与共线定理，关键注意向量的方向性，从而轻松解题． 已知是空间任一点，四点满足任三点均不共线，但四点共面，且，则________. 【答案】-1 【解析】 ∵2x•3y•4z•， ∴2x•3y•4z•， ∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面 ∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1 ∴2x+3y+4z＝﹣1 故答案为﹣1 【解题技巧】本题考查空间向量基本定理，考查向量共面的条件，运用共面解决。． 2．空间向量数量积的运算 （1）a·b=|a||b|cos<a，b> （2）a⊥b⇔a·b=0 (a，b为非零向量).  （3）|a|2= a2,|a|=.  已知a、b是异面直线，且a⊥b，分别为取自直线a、b上的单位向量，且 ，则实数k的值为___. 【答案】6 【解析】由，得， ∴，∴，∴. 故答案为：6. 【解题技巧】本题根据垂直向量的数量积为0，进行运算，主要考察空间向量的数量积运算，考察运算能力. 如图，平行六面体中中，各条棱长均为1，共顶