18 例谈分类讨论思想方法在解题中的应用（数学部分）-2019年1-2月刊高三语数外《中学课程辅导·高考版》

解题方法 椒学 例谈分类讨论恩想方法在解题中的应用 凵周淦利 分类讨论在数学中既是一种重要的策略思想,又 例1设关于x的不等式z(x-4-1)<(a∈R) 是一种重要的数学方法很多数学问题,涉及到的知的解集为M不等式Q≤0的解集为N,若MN 识范围广,约束条件多,很难用统一的方法解决,需要 对研究对象按一定的标准分类,然后对每一类分别进求实数a的取值范围 行研究得出每一类的结果,最后再综合各类结果便可 分析:由于参数a的范围不同,集合M结果就不 到整个问题的解答分类讨论的思想方法在高考中同,丙此需要对参数a进行分类讨论 占据着非常重要的地位,相关的试题具有明显的逻辑 解:显然N=[-1,3) 性、综合性、探索性等特点,突H考奁同学们思维的严 1)当a<-1时 1<0,于是M=(a+1 谨性和周密性、认识问题的全面性和深刻性,以及分 ),因为MN,所以-1≤a+1<0,解得 析问题、解决问题的能力,能体现“着重考查数学能 力”的要求.因此分类讨论是历年数学高考的重点与 (2)当a--1时,M,显然MN 热点 (3)当a>-1时,则a+1>>0,J是M=(0,a+高 一、规律方法总结 1),因为N所以0<a+1≤3,解得 综 上所述,所求实数a的取值范围是L-2,2 般地,涉及到以下儿类问题需要进行分类 分类讨论思想方法在函数与方程中的应用 讨论: 例2已知两数∫(x) ox+3在区间 (1)涉反的数学概念是分类定义的 1,1上有最小值g(a),求g(a)的最大值 (2)运算公式、法则、性质是分类给出的 分析:于二次函数对称轴相对于所给区间的位 (3)参数的不同取值会导致不同的结果 置不同,二次两数的最值也就不同,齿此木题需根据 A)儿何图形的形状、位置的变化会引起不同的对称轴的不同位置进行分类讨论 5)所给题设中限制条件与研究对象不同的性质 解:f(x)=2x2-2ax+3=42)2+3 引发不同的结论 (6)复杂数学问题或咔常规问题需分类处理才其对称轴方程为x=8 于解决, )当 1即a≤-2时,(x在[-1,1上 (7)实际问题的实际意义次定要分类讨论 单调递增,所以g(a)=∫(-l)=2a+5. 2.分类讨论需坚持以下几个原则 (1)分类标准统一、对象确定 (2)所分各类没有重复部分,也没有遗漏部分 分层讨论,不能越级讨论 (4)对讨论的结果还要进行综合概述 (3)当≥1即a=2时,f(x)在L-1,1上单调 典型应用分析 递减,所以g(a)=f(1)=5-2 .分类讨论思想方法在集合中的应用 在集合运算屮常常需要结合元素与集合、集合与 集合之间的关系分类讨论,尤其是对一些含参数的集 综上所述,g(a)-3-2 合问题,常常需要进行分类讨论求解 6 解题方法 因为当“一2时,g(4)-2+5≤1:一2<4为(2x-1)≤0,解得x-1 2时,1 时,g(a) ④当m+1>0且 即 时,解得x∈ 24≤1,故g(a)的最大值为 综上所述,当mx-1时,原不等式解集为{x 例3求数f( 1在区间[0, 当m=-1时,原不 上的最小值 分析:利川导数解答,为此需解方程∫(x) 等式解集为xx≥):当-1<m≤3时原不等式 =0(x∈[0,1]),这就需要对参数a进行分类讨论 解集为 };当 解:由丁f(x (1)当≤0时因为f(x)≥0对于x∈[0,1恒时原不等式解集为{};当m>3时,原不等式解集 成立,所以∫(x)在区间0,1_上单调递增,于是 为 (2)当a=1时,因为f(x)≤0对」x∈[0,1]恒 A分类讨论思想方法在数列中的应用 成立,所以f(x)在区间_0,1_上单调递减,于是 例5口知公差为2的等差数列c2},其前n项 和为S2,且S1、S2、S1成等比数外 (1)求数列{ax}的通项公式 (3)当0≤a≤1时,由f(x)-x2-a-0(x∈[0, ,求数列bn}的前n项 a因为当0<x<时f(x)<0,当a和T x<1时f(x)>0,所以当x-a时f(x)有极小值 分析:第(1)问属于某本量计算问题,易得an=2n 2a,即为最小值 1,代人第(2)问可得 综上所述,当≤0时,f(x)在区间[0,1]上的最 小值为1;当a≥1时,f(x)在区间[0,1上的最小值2n+1),这与通常所见的裂项略有不同,但关键在于 a;当0<a<1时,f(x)在区间_0,1的最小有(-1),可以对n的奇偶性进行分类讨 解:(1)易得a2=2n 过程略). 值为1-54 (2)因为bn=(-1)4-1 ,an=2n-1,故可得 3.分类讨论思想方法在不等式中的应用 例4解关于x的不等式(m+1)x2-4x+ 分析:二次项系数含参数,需要讨论;判别式含参 ①当m为偶数时,Tn=(1+2 数,也需要讨论 0即 不等式(m+1)x2-