11 构造等差数列解读高考最值问题（数学部分）-2019年10月刊高三语数外《中学课程辅导·高考版》

重点解析 数学 构造等差数列解读高考最值问题 □于志洪 多变量最值问题是「学数学常见问题之一,该问造法的优越性 题在近年来高考及高考模拟考试中时常出现.巾于这 例2(212年北化京大学保送生考试题)实数a,b 类试题的内涵丰富、知识面广、综合性强、解法灵汗、满足a2|b|b=1,且t=ab-a2-b,求t的最大值 变化复杂,主要考同学们运川数学思想方法、运川和最小值 双基”去灵活解决问题的能力,囚而大部分学生常常 分析:因为a2+ab+62=1,所以a2+b=1ab, 感到困难,不知从何处突破.为解次这一难点,本文主 从而t=cb =4b1+ab=2ab1.问题 要谈谈如何构造等差数列解决某些非数列的高考中转化为求cb的取值范围而求得t的最大值和最小值 的最大值和最小值问题,供高中师生教与学时参考 解:由a2+ab+b=1,得a2+b=1ab=2 例1(2008年高考重庆卷试题)已知数 因而a3 B成等差数列,设公差为d 1-x+√x+3的最大值为M,最小值为m,则的 则a2 l,所以a 值为 . 分析:此题考查的是形如y=√ax+b|√cx+a )2 (ac<0)的无理所数最值的求法,它足高中数学的 ,即-3≤2ab 个难点内容,本文通过构造等差数列求解 解:因为√1-x 所以可把 评注:初看本例感觉非常陌生,有无从下手的困 x,,√x+3看成等差数列设公差为d 难.怛通过观綮已知条件,经过变形,联想到a2 1如,成等差数列,另辟蹊径通过构造等差数列求 则 解题的探索精神和创新精神,可谓匠心独 具,訢颖别致 ①+②,得y2+1dF-8=0,即y=2√2a 例3设x,y0,2x+y=6,求x=4x2+3xy 的最大值和最小值 0得0≤y-d≤2,由②得0≤2y+ 分析:此类冋题常用消元法,将其转化为一元函 数的最值求解,观察本例的条件2x+y=6,发现2x 2,所以-2≤24≤2,即 3,y可看成等差数列,巾于我们对数列知认比较熟 d在d∈L0,1」上为减函数,故当悉,因此可以另辟蹊径,通过构造等差数列求解 dF=0时 2√2;当c=1时 解:设公差为l,则2x=3-d,y=3+ 于是有 (3-d)2+3 评注:本题如用常规方法求最大值,可将原式两 3+a)十(3d)2-3(3-)-3(3a)=bdF 简变形去寻找解 题途径,然而应用 等差数列求出结果,不仅方法新颛,而且简捷,别有风+27∴l≤,:”≤4P+2≤18,即”7 味.本题解法的巧妙之处在于通过构造等差数列,大 大减少了计算量,降低了解题的难度,充分显示了构 18 29