第1章 1.2.3　直线与平面的夹角-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

1.2.3　直线与平面的夹角 学 习 目 标 核 心 素 养 1．理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性． 2．会求直线与平面的夹角．(重点、难点) 　通过学习空间线面角，提升数学运算、逻辑推理素养． 倾斜的大树，因倾斜而闻名的斜塔，高昂的塔克炮筒，发射导弹的壮观场面……在这些画面中都让我们依稀看到了直线与平面相交的影子，如果把大树、斜塔、炮筒、导弹抽象成直线，把地面抽象成平面，怎样来刻画直线相对于平面的倾斜程度？ 1．直线和平面所成的角 2．最小角定理 3．用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝，特别地cos θ＝sin〈v，n〉或sin θ＝|cos〈v，n〉|． －〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－ 思考：直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？ [提示]　不是．直线和平面的夹角为． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角． (　　) (2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角． (　　) (3)斜线与平面的夹角为[0,90°]． (　　) (4)直线与平面的夹角为[0,90°]． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ [提示]　(1)×　错误，角的度数还可以是零度． (2)√　根据线面角的定义知正确． (3)×　斜线与平面的夹角为(0,90°)． (4)√　正确． 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．120°　　　　　　 B．60° C．30° D．以上均错 C　[设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°．] 3．已知向量m，n分别为直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为________． 60°　[设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝．又∵θ∈[0,90°]，∴θ＝60°．] 4．在正方形ABCD­A1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为________． 30°　[如图，连接B1D1交A1C1于O，连接OC，因为几何体是正方体，所以OB1⊥