第1章 §5 5.2　正弦函数的性质-2020秋北师大版高中数学必修四讲义

5.2　正弦函数的性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解、掌握正弦函数的性质．(重点) 2．会求简单函数的定义域、值域．(重点) 3．能利用单调性比较三角函数值的大小．(难点) 1.通过理解正弦函数的性质，培养数学抽象素养． 2．通过求简单函数的定义域、值域和比较三角函数的大小，提升数学运算素养． 正弦函数的性质 性质 定义域 __R__ 值域 [－1，1] 最大值与最小值 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－1 周期性 周期函数，T＝2π 单调性 在(k∈Z) 上是增加的； 在(k∈Z) 上是减少的 奇偶性 奇函数 对称性 图像关于原点对称，对称中心(kπ，0)，k∈Z；对称轴x＝kπ＋，k∈Z 思考：正弦函数的周期为2π，在研究正弦函数性质时，选取哪个区间研究，既好学，又有效？ [提示]　选取上的图像来研究，即可掌握整个定义域上的性质． 1．下列函数中是奇函数的是(　　) A．y＝－|sin x|　　 B．y＝sin (－|x|) C．y＝sin |x| D．y＝x sin |x| D　[利用定义，显然y＝x sin |x|是奇函数．] 2．已知M和m分别是函数y＝sin x－1的最大值和最小值，则M＋m等于(　　) A． B．－ C．－ D．－2 D　[因为M＝ymax＝， －1＝－ m＝ymin＝－， －1＝－ 所以M＋m＝－＝－2.]－ 3．若函数f(x)＝sin 2x＋a－1是奇函数，则a＝________． 1　[由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)得a＝1.] 4．函数y＝|sin x|的值域是________． [0，1]　[由函数y＝|sin x|的图像(图略)可知为[0，1].] 正弦函数的周期性与奇偶性 【例1】　求下列函数的周期： (1)y＝sin x； (2)y＝|sin x|. [解]　(1)∵sin x的周期是4π.x，∴sin ＝sin ＝sin (2)作出y＝|sin x|的图像，如图． 故周期为π. 1．求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论． 2．函数y＝sin x为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sin x，x∈[0，2π]是非奇非偶函数