第2章 §3 3.1　数乘向量-2020秋北师大版高中数学必修四讲义

§3　从速度的倍数到数乘向量 3.1　数乘向量 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解向量的数乘运算及其几何意义．(重点) 2.理解向量共线定理，并应用其解决相关问题．(难点) 3.会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行．(易混点) 1.通过学习数乘运算及其几何意义，体会数学抽象素养． 2.通过运用向量共线定理解决相关问题，培养数学运算素养． 1．数乘向量及运算律 (1)向量数乘的定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0． (2)向量数乘的运算律 设a，b为向量，λ，μ为实数，则数乘向量满足： ①结合律：λ(μa)＝(λμ)a； ②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb． 思考1：向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？ [提示]　3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同． －3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反． 2．共线向量定理 (1)判定定理 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线． (2)性质定理 若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa． 思考2：若b＝2a，b与a共线吗？ [提示]　根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线． 如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向 量；反之，如果b与a(a≠0)共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 1．在四边形ABCD中，若，则此四边形是(　　)＝－ A．平行四边形　 B．菱形 C．梯形 D．矩形 C　[因为， ＝－ 所以AB∥CD，且AB＝CD， 所以四边形ABCD为梯形．] 2．下列各式计算正确的有(　　) ①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b； ③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C　[①③④正确．] 3．已知向量a与b不共线，向量c＝3a－b，d＝6a－2b，则向量c与d的关系是________．(填“共线”或“不共线”) 共线　[d＝6a－2b＝2(3a－b)＝2c， 所以向量c与d共线