第2章 §5　从力做的功到向量的数量积-2020秋北师大版高中数学必修四讲义

§5　从力做的功到向量的数量积 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点) 2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系． 3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点) 1.通过学习平面向量数量积的含义及其物理意义，体会数学抽象素养． 2.通过运用数量积的运算性质及运算律解决长度、夹角、平行、垂直的问题，提升数学运算素养． 1．向量的夹角 定义 已知两个非零向量a和b，作＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角＝a， 范围 0°≤θ≤180° 特例 θ＝0° a与b同向 θ＝180° a与b反向 θ＝90° a与b垂直，记作a⊥b，规定0可与任一向量垂直 思考1：△ABC为正三角形，设＝b，则向量a与b的夹角是多少？＝a， [提示]　如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则＝a， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向量a与b的夹角为120°. 2．向量的数量积 (1)射影 |b|cos_θ叫作向量b在a方向上的投影数量(简称为投影). (2)数量积 已知两个非零向量a与b，我们把|a||b|cos_θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ，其中θ是a与b的夹角． (3)规定 零向量与任一向量的数量积为0． (4)几何意义 a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos_θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积． (5)性质 ①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ. ②若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b⇔a·b＝0． ③|a|＝. ＝ ④cos θ＝(|a||b|≠0). ⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． (6)运算律 已知向量a，b，c与实数λ，则： ①交换律：a·b＝b·a； ②结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 思考2：向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗？ [提示]　如图所示，＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ.＝a， |b|co