专题17 立体几何综合-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项详解

专题17 立体几何综合 【2020年】 1.（2020·新课标Ⅰ）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径， ． 是底面的内接正三角形，P为 上一点， ． （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值． 2.（2020·新课标Ⅱ）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. （1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F； （2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值. 3.（2020·新课标Ⅲ）如图，在长方体 中，点E、F分别在棱 上，且 ， ． （1）证明：点 在平面 内； （2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值． 4.（2020·北京卷）如图，在正方体 中，E为 的中点． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 5.（2020·江苏卷）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点． （1）求证：EF∥平面AB1C1； （2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1． 6.（2020·江苏卷）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= ,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF= BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 7.（2020·山东卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 8.（2020·天津卷）如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，点 分别在棱 和棱 上，且 为棱 的中点． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 9.（2020·浙江卷）如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC． （I）证明：EF⊥DB； （II）求DF与面DBC所成角的正弦值． 【2019年】 12．【2019年高考全国Ⅱ卷】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1． （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值． 13．【2019年高考全国Ⅲ卷】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B−CG−A的大小. 14．【2019年高考北京卷】如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且 ． （1）求证：CD⊥平面PAD； （2）求二面角F–AE–P的余弦值； （3）设点G在PB上，且 ．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． 15．【2019年高考天津卷】如图， 平面 ， ， ． （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长． 16．【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E． 17．【2019年高考浙江卷】（本小题满分15分）如图，已知三棱柱 ，平面 平面 , ， 分别是AC，A1B1的中点. （1）证明： ； （2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值. 【2018年】 12. （2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 13. （2018年天津卷）如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2. （I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：； （II）求二面角的正弦值； （III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长. 14. （2018年北京卷）如图，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，