黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020-2021学年高二8月开学考试数学试题

牡一中2019级高二学年开学检测数学试题 一、选择题（每小题5分，共60分） 1．如果，那么下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 2．已知中，三内角依次成等差数列，三边依次成等比数列， 则是（ ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 3．设等差数列的前项和为，若，则 （ ） A．4 B．6 C．10 D．12 4．已知不等式的解集是,则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 5．如图，在直三棱柱中，为的中点，，，，则异面直线与所成的角为（ ） A． B． C． D． 6．在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 8．在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（ ） A．25 B． C．5 D． 9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高两丈．问积及为粟几何？”其意思为“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为2丈，问它的体积和堆放的粟各为多少？”如图所示，主人欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛等于2700立方寸，一斛粟米卖540钱，一两银子1000钱，则主人欲卖得银子（单位换算：1立方丈=立方寸）（ ） A．800两 B．1600两 C．2400两 D．3200两 10．设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则b的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11．已知数列的前项和为，，若存在两项，使得，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 12．已知，，且，则的最大值为（ ） A．2 B． C． D． 二、填空题（每小题5分，共20分） 13．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx-2y-5＝0相交于同一点，则m的值为________． 14．若，则的最大值为______. 15．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且的面积为，则的最大值是_________． 16．设数列的前n项和为，若，则的值为______. 三、解答题 17．（10分）求适合下列条件的直线方程： 经过点，倾斜角等于直线的倾斜角的倍； 经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形。 18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求的值； （2）若，△ABC的面积为，求边长b的值. 19．（12分）如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点. 求证：（1）平面平面；（2）平面. 20．（12分）设 （1）解不等式； （2）对任意的非零实数，有恒成立，求实数的取值范围. 21．（12分）矩形中，，，E、F分别为线段、上的点，且，现将沿翻折成四棱锥，且二面角的大小为. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 22．（12分）设数列的前项和为，已知，且． （1）证明为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，且，证明； （3）在（2）的条件下，若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围． 2019级高二开学测试参考答案 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C A C A A B B C B D 序号 13 14 15 16 答案 9 3 310 17．【解析】（1）已知， 直线方程为化简得 （2）由题意可知，所求直线的斜率为. 又过点，由点斜式得， 所求直线的方程为或 18．【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理， 设，则， 带入，化简得， 因为， 所以； （2）由（1）可知，，， 又，所以，解得. 在△ABC中，由余弦定理， 即，解得. 19．【解析】（1）在直三棱柱，则平面，平面， 故， ，，故平面，平面， 故平面平面. （2）如图所示：为中点，连接，，故，， 故，故四边形为平行四边形，故，平面， 故平面. 20．【解析】（1） 令 当时 当时 当时 综上所述 （2）恒成立等价于 （当且仅当时取等） 恒成立 21．【解析】（1）由题意在矩形中，，， ∴四边形为边长为2的正方形. 连结，交于点M，如图 则，且. 在四棱锥中，，， ∴面，又面， ∴ （2）设点F到平面的距离为，点到平面的距离为 由（1）就是二面角的平面角，∴. ∵面，∴面面， 过F作于H，∵面面，∴面. 又∵在中，，∴，， ∴，∵，∴. 由题意可得，∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 22．【解析】（1）在，中， 令，得，即， ∵，解得