1.4.3 运用立体几何中的向量方法解决距离与角度问题（基础练）-2020-2021学年高二数学十分钟同步课堂专练（人教A版选择性必修第一册）

1.4.3 运用立体几何中的向量方法解决距离与角度问题 基础练 一、单选题 1．在长方体中，，，分别为棱，，的中点，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 2．若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 4．正四棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 5．平面α的一个法向量为＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D．以上都不对 6．在正方体中，点为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知平面的一个法向量，，，且，则直线与平面所成的角为______． 8．在空间直角坐标系中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 9．在正方体中，和平面所成角的正弦值为________. 三、解答题 10．如图，在四棱柱中，点和分别为和的中点,侧棱底面. （1）求证：//平面； （2）求二面角的正弦值 参考答案 1．【答案】C 【解析】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图 设，则，，，， 所以，，， 所以，所以异面直线与所成角的大小为， 故选C. 2．【答案】D 【解析】由于直线与平面的夹角为， 其中， 所以， 所以. 故选D 3．【答案】A 【解析】，，设， 根据题意得，,,,. ,, . 故选A. 4．【答案】C 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系. 有图知， 由题得、、、. ，，. 设平面的一个法向量， 则，， 令，得，， . 设直线与平面所成的角为，则. 故选C. 5．【答案】B 【解析】∵，， ∴||==5，||==5 •=4×0+3×+0×（﹣1）=-9 因此，向量与的夹角θ满足cosθ=== 又∵向量、分别为平面α和平面β的法向量 ∴平面α与β夹角等于向量、的夹角，故平面α与β夹角的余弦值等于 故选B． 6．【答案】B 【解析】以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为，则，，， ∴，， 设平面的一个法向量为， 则