1.4.3 运用立体几何中的向量方法解决距离与角度问题（重点练）-2020-2021学年高二数学十分钟同步课堂专练（人教A版选择性必修第一册）

1.4.3 运用立体几何中的向量方法解决距离与角度问题 重点练 一、单选题 1．在正方体中，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2．在正方体，中，是的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 3．如图，棱长为1的正方体，是底面的中心，则到平面的距离是（ ） A． B． C． D． 4．如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，正三棱柱中，各棱长均等于，为线段上的动点，则平面与平面所成的锐二面角余弦值的最大值为______________. 6．如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是______. 三、解答题 7．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 参考答案 1．【答案】A 【解析】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为，则， ∴． 则． ∴异面直线与所成角的余弦值为 , 故选A． 2．【答案】C 【解析】设正方体边长为，以为坐标原点， 所在的直线分别为轴建立坐标系， 则， 平面法向量为， 设直线与平面所成的角为， . 故选C. 3．【答案】B 【解析】如图建立空间直角坐标系， 则： 由于平面平面 ，又， 平面 故平面的一个法向量为： 到平面的距离为： 故选B 4．【答案】D 【解析】底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形， 则，所以 设， 由为线段的中点， 则， 由， 所以， 以为原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，设， ，，，， 设平面的一个法向量， 则，即， 令，则，， 所以. 设平面的一个法向量， 则，即， 解得，令，则， 所以， 平面与平面所成锐二面角的平面角为， 则， 将分子、分母同除以，可得 令， 当时，， 则的最大值为：. 故选D 5．【答案】 【解析】如图建立空间坐标系， 则，，， ，， 设平面的法向量为， 取， 平面的法向量为， 则. 故填. 6．