2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学试题-【创新示范卷】2019年高考文科数学真题汇编

１９．解析:解决直线与椭圆的综合问题时,要注意: (１)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直 线、椭圆的条件; (２)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后 的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、 三角形的面积等问题． (Ⅰ)因为椭圆的右焦点为(１,０),c＝１; 因为椭圆经过点A(０,１),所以b＝１,所以a２＝b２＋ c２＝２,故椭圆的方程为x ２ ２＋y ２＝１． (Ⅱ)设P(x１,y１),Q(x２,y２) 联立 x２ ２＋y ２＝１ y＝kx＋t(t≠１) { 得(１＋２k２)x２＋４ktx＋２t２－２ ＝０, Δ＞０,x１＋x２＝－ ４kt １＋２k２ ,x１x２＝ ２t２－２ １＋２k２ ,y１＋y２＝k (x１＋x２)＋２t＝ ２t １＋２k２ ,y１y２＝k２x１x２＋kt(x１＋x２) ＋t２＝t ２－２k２ １＋２k２ ． 直线AP:y－１＝ y１－１ x１ x,令y＝０得x＝ －x１ y１－１ , 即|OM|＝ －x１ y１－１ ; 同理可得|ON|＝ －x２ y２－１ ． 因为|OM||ON|＝２,所 以 －x１ y１－１ －x２ y２－１ ＝ x１x２ y１y２－(y１＋y２)＋１ ＝２; t２－１ t２－２t＋１ ＝１ ,解之得t＝０,所以直线方程为y＝kx, 所以直线l恒过定点(０,０)． 答案:(Ⅰ)x ２ ２＋y ２＝１　(Ⅱ)见解析 ２０．解析:本题主要考查利用导函数研究函数的切线方 程,利用导函数证明不等式的方法,分类讨论的数学 思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解 能力．(Ⅰ)f′(x)＝３４x ２－２x＋１,令f′(x)＝３４x ２－ ２x＋１＝１得x＝０或者x＝８３． 当x＝０时,f(０)＝０,此时切线方程为y＝x,即x－y ＝０; 当x＝８３ 时,f ８３( ) ＝ ８ ２７ ,此时切线方程为y＝x－ ６４ ２７ ,即２７x－２７y－６４＝０; 综上可得所求切线方程为x－y＝０和２７x－２７y－ ６４＝０． (Ⅱ)设g(x)＝f(x)－x＝１４x ３－x２,g′(x)＝３４x ２ －２x,令g′(x)＝３４x ２－２x＝０得x＝０或者x＝８３ , 所以当x∈[－２,０]时,g′(x)≥０,g(x)为增函数;当 x∈ ０,８３( ) 时,g′(x)＜０,g(x)为 减 函 数;当x∈ ８ ３ ,４[ ] 时,g′(x)≥０,g(x)为增函数; 而g(０)＝g(４)＝０,所以g(x)≤０,即f(x)≤x; 同理令h(x)＝f(x)－x＋６＝１４x ３－x２＋６,可求其 最小值为h(－２)＝０,所以h(x)≥０,即f(x)≥x－６,综 上可得x－６≤f(x)≤x． (Ⅲ)由(Ⅱ)知－６≤f(x)－x≤０, 所以 M(a)是|a|,|a＋６|中的较大者, 若|a|≥|a＋６|,即a≤－３时,M(a)＝|a|＝－a≥３; 若|a|＜|a＋６|,即a＞－３时,M(a)＝|a＋６|＝a＋６ ＞３; 所以当 M(a)最小时,M(a)＝３,此时a＝－３． 答案:(Ⅰ)x－y＝０和２７x－２７y－６４＝０ (Ⅱ)见解析 (Ⅲ)a＝－３ 天津卷 １．D　集合的运算问题,一般要先研究集合中元素的构 成,能化简的要先化简,同时注意数形结合,即借助数 轴、坐标系、韦恩图等进行运算．因为A∩C＝{１,２}, 所以(A∩C)∪B＝{１,２,３,４}．故选 D． ２．C　线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区 域还是开放区域,分界线是实线还是虚线,其次确定 目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的 平方、直线的斜率,还是点到直线的距离等等,最后结合 图形确定目标函数最值或范围．即:一画,二移,三求．已 知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分． 目标函数的几何意义是直线y＝４x＋z在y轴上的截距, 故目标函数在点A 处取得最大值． 由 x－y＋２＝０ x＝－１{ ,得A(－１,１), 所以zmax＝－４×(－１)＋１＝５．故选C． ３．B　充要条件的三种判断方法: (１)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断; (２)集合法:根据由p,q成立的对象构成的集合之间 的包含关系进行判断; (３)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价 性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这 个方法特别适合以否定形式给出的问题． |x－１|＜１等价于０＜x＜２,故０＜x＜５推不出|x－１|＜１; 由|x－１|＜１能推出０＜x＜５． 故“０＜x＜５”是“|x－１|＜１”的必要不充分条件．故选B． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋