【新教材精创】1.1 空间向量及其运算（导学案）-人教A版高中数学选择性必修第一册

1.1 空间向量及其运算 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念； 2.掌握空间向量的运算；加减、数乘、数量积； 3.能运用向量运算判断向量的共线与垂直. 重点：理解空间向量的概念 难点：掌握空间向量的运算及其应用 一、温故知新 1.平面向量的概念 名称 定义 备注 向量 既有 又有 的量。 向量的大小叫做向量的长度或模 平面向量是自由向量 零向量 长度等于0的向量，其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 与非零向量共线的单位向量为 平行向量 (或共线向量) 方向 的 向量 0与任一向量平行（或共线） 相等向量 长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比大小 相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为 2.向量的线性运算 （1）加法：是指求两个向量和的运算； 法则（几何意义）：三角形法则、平行四边形法则。 （2）减法：是指求与的相反向量的和的运算叫做与的差； 法则（几何意义）：三角形法则。 （3）数乘：是指求实数与向量的积的运算； 法则（几何意义）：①； ②当时，与的方向 ； ③当时，与的方向 ；④四时，= . 3.共线向量定理 向量与共线的充要条件是，当且仅当存在唯一实数λ，使得。 4.平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量， 一对实数使 ，其中不共线的向量叫表示这一平面内所有向量的一组基底。 结论：（1）若向量，不共线，则的等价条件是； （2）三终点A,B,C共线存在实数使得=，且 5.两个向量的夹角 （1）定义：一直两个非零向量，作，则∠叫做与的夹角。 （2）范围：夹角的取值范围是 。 ①当与同向时，= ；②反向时，= ；③当与垂直时，= ，并记作⊥。6.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 （1）与的夹角是锐角· 0且与不共线； （2）与的夹角是钝角· 0且与不共线。 7.平面向量的数量积 （1）定义：·=