1.4 定积分与微积分基本定理（教案）-2020年高中同步教与学数学（人教B版选修2-2）

高中同步教与学·全新教案(活页) 第一章导数及其应用 1.4定积分与微积分基本定理 4.Ⅰ曲边梯形面积与定积分(1课时 教学。目标》 情感、态度与价值观 通过求曲边梯形的面积,进一步感受极限的思想,体会事物 知识与技能 之间的相互转化和对立统一的辩证关系 通过求曲边梯形的面积,变力做功,了解定积分的背景,借 助于几何直观体会定积分的基本思想,了解定积分的概念,会求 重点◆难点》 简单的定积分 重点 过程与方法 了解定积分的概念 通过求曲边梯形的面积,体会定积分的基本思想及使用u难点 方法 会利用定义求简单的定积分 《>案例(-)》 敦学◆过程》 引入新课 假设抛物线方程为y=1-x2,x∈[0,1,将[0,1]分成n等 1.曲边梯形的面积 份,抛物线下面部分分割成n个小曲边梯形,第i个小曲边梯形 课堂引言: 用宽为,高为1 的矩形代替 [师]我们已经学会了正方形,三角形,梯形等面积的计算, 这些图形有一个共同的特征:每条边都是直线段.但我们生活与 工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算 呢?我们通常用一些小矩形面积的和来近似它 AS1 屏幕投影下面的图形,让学生思考 [生]思考谈论 它的面积△S≈ 所求的总面积 b (四个小矩形 (九个矩形 [师]上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近 似的情况精度高,但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值 2.变力做功问题 如何求取曲边图形的准确面积呢? [师]再看一个变力做功的问题. [师生]比如举世瞩目的长江三峡溢流坝,其断面形状是根 屏幕显示]设质点m受力F(x)的作用,沿直线由A点运动 据流体力学原理设计的,如图所示,上端一段是抛物线,中间部到B点求变力F(x)作的功 分是直线,下面部分是圆弧.建造这样的大坝自然要根据它的体 积备料,计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面 积.该断面最上面抛物线所围的那一块面积该怎样计算呢? [师]我们知道,直与曲虽然 生]讨论分析 是一对矛盾,但它们可以相互转 师]引导学生分析具体步骤 化,早在三国时代,我国数学家刘 F虽然是变力,但在很短一段间隔内△x,F的变化不大,可 徽就提出了“割圆术”,以“直”代 曲”把圆的面积近似看成多边形 近似看作是常力作功问题.按照求曲边梯形面积的思想, (1)对[a,b作分割 面积来计算.现在我们来计算 下溢流坝上部断面面积 当每个小区间的长度都很小时,小区间[x-1,x;]上的力 生]思考分析 ≈F(),∈[x-1,x;] [师生]共同演示分析步骤 在[x 高中同步教与学·全新教案(活页) △W≈FG)△x1 解析这里的被积函数∫(x)=x3显然是连续函数,现按定 (2)求和 义中包含的几个步骤来求x3dx 力F在[a,b上做的功 答案(1)分割 W=∑△W≈∑F(G)△x 分割越细,近似程度,分割无限细时,即分割细度‖T‖ (2)求和 max (3)取极限对上面和式取极限,极限值就是力在[a,b上做 的功. (因为x3连续,所以氵可随意取而不影响极限,故我们此处 从上面两个例子看出,不管是求曲边梯形的面积或是计算将取为x,]的右端点也无妨) 变力作的功,它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求 (3)取极限 和、取极限”,或者说都归结为形如 f()△x 的和式极限问题我们把这些问题从具体的问题中抽象出来,作4 为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分.由此我们可以 此处用到了求和公式13+23+…n3=(1+2+…+n)2 给定积分下一个定义:(简要定义见教材,这里给出严格定义,供rn(m+1)2 参考) [师生]一起总结得到结论 例2已知f(x)=gx,g是常数,求f(x)从0到t的积分, 3.函数定积分的定义 即求gxdx (1)定义设f(x)是定义在区间[,b上的一个函数,在闭 答案(1)分割[0,t 区间[a,b上任取n-1个分点 a<x1<…<x-1<x 把[a,b分成n个小闭区间,我们称这些分点和小区间构成 (2)取为第i个小区间的右端 作和 的一个分割,用T表示,分割的细度用‖T‖=max{△x}表示, 在分割T所属的各个小区间内各取一点∈[x-1,x;]称为介 ∑(m1)·n 点,作和式 ∑f()△x (3)Agrdr= lim &t 2i=lim gt, n(mf D=3gi (2)函数的可积性: 三、概念拓展 设J是一个确定的数,若对任意ε>0总存在某个>0,使得 理解定积分定义要注意以下三点 [a,b上的任何分割T,只要它的细度‖T‖<δ,属于分割T的 (1)对于定积分来说,给定了细度‖T‖以后,积分和并不唯 所有积分和∑f(T)都有 确定,同一细度分割有无穷多种,即使分割确定,介点ξ仍可 以任意选取 ∑(7)-J<∈ (2)定积分是积分和的极限,积分