专题九：平面直角坐标系下的全等三角形问题探究-2020-2021学年八年级数学初二上学期专题突破（人教版）

专题九：平面直角坐标系下的全等三角形问题探究（带答案） 知识指引 平面直角坐标系本身是“”数“”与“”形“”的统一体，在处理平面直角坐标系下的全等三角形问题时，需要深刻理解“全等”的含义，在熟悉三角形的基本要素以及组成全等三角形的基本图形的同时，结合点坐标的特征及含义，能在复杂的图形中发现和分解出基本的全等类型，恰当选择相应的判定方法，是处理平面直角坐标系下有关全等的难点 · 在处理点时要注意把握以下几点 （1）理解点的坐标意义，由点向坐标轴引垂线，相应垂线段与坐标之间的关系 （2）熟悉象限内点，坐标轴上的点、对称点的坐标特征； （3） 促成坐标与点的转化； （4） 点坐标反映线段长，线段长反映点坐标， · 全等三角形存在性处理思路分析 1.分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判 定等）考虑分类． 注：全等三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类． 2.画图求解： 往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑边、角的对应相等和不变特征后列方程求解． 3.结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果． 典型例题 类型一：在平面直角坐标下利用全等来处理问题 【例1】如图，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，－4）． （1）若C的坐标为（－1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标； （2）连接OH，求证：∠OHP=45°； 【分析】（1）利用坐标的特点，得出△OAP≌△OB，得出OP=OC=1，得出结论； （2）过O分别做OM⊥CB于M点，ON⊥HA于N点，证出△COM≌△PON，得出OM=ON，HO平分∠CHA，求得结论； 【解答】（1）由题意得，OA=OB=4． ∵AH⊥BC于H，∴∠OAP+∠OPA=∠BPH+∠OBC=90°，∴∠OAP=∠OBC． 在△OAP与△OBC中，∴△OAP≌△OBC， ∴OP=OC=1．∴P（0，－1）. （2）过O分别作OM⊥CB于M点，ON⊥HA于N点， 在四边形OMHN中，∠MON=360°－3×90°=90°，∴∠COM=∠PON=90°－∠MOP. 在△COM与△PON中，∴△COM≌△PON，∴OM=ON， ∴HO平分∠CHA，∴∠OHP=； 类型二：在平面直角坐标系下全等三角形的存在性问题 【例2】如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，3），点C（0，2）． （1）若点D在第二象限，如图，且△AOB≌△COD，请直接写出这时点D的坐标． （2）在平面直角坐标系中是否存在点E（点D除外），使△AOB与△COE全等？若存在，请求出符合条件的E点的坐标，并在下列备用图中画出图形；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）只要证明CD⊥OB，求出DC，OC即可解决问题； （2）画出图形，即可解决问题． 【解答】（1）∵A（2，0），点B（0，3），点C（0，2）， ∴OA=OC=2，OB=3，∵△AOB≌△COD，∴∠DCO=∠AOB=90°，DC=OB=3， ∴DC⊥OB，∴点D坐标（-3，2）． （2）如图，点E坐标为E1（-3，0），E2（3，2），E3（3，0）． 强化练习 1．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），若以B，O，C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标不能为（　　）． A．（0，﹣4） B．（﹣2，0） C．（2，4） D．（﹣2，4） 选A. 2．如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），则点B的坐标为 ． 【答案】（1，4）. 3.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，3)，B(9，0)，且∠ACB＝90°，CA＝CB，则点C的坐标为_______． 答案：(6，6) ． 4．如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，3），点D在第二象限，且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 ． 答案：（﹣4，3）或（﹣4，2）． 5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，6），点C在x轴上运动（不与点A重合），点D在y轴上运动（不与点B重合），当以点C，O，D为顶点的三角形与△AOB全等时，则点D的坐标为 ． 答案：（0，-6）或（0，-3）或（0，3）[来源:学。科。网] 6.在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，3）和点C（0，2）； （1）请写出OB的长度：OB= ； （2）如图：若点D在x轴上，且点D的坐标为（-3，0），求证：△AOB≌△COD； （3）若点D在第二象限，且△AOB≌△COD，则这时点D的坐标是 （直接写答案）． 【解答】（1）∵点B（0，3），∴O