考点13 立体几何综合-2020年【衔接教材·暑假作业】新高三一轮复习数学（文）（北师大版）

考点13 立体几何综合 1．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，BC∥AD，AD＝2BC＝2CD＝2，O是AD的中点，PO⊥平面ABCD，过AB的平面交棱PC于点E（异于点C，P两点），交PO于F． （1）求证：EF∥平面ABCD； （2）若F是PO中点，PA＝2，求三棱锥E﹣ACD的体积．[来源:学科网] 2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝PC，E，F分别是PA，PC的中点．求证： （1）AC∥平面BEF； （2）PA⊥平面BCE． 3．如图，四面体ABCD被一平面所截，平面与四条棱AB，AC，CD，BD分别相交于E，F，G，H四点，且截面EFGH是一个平行四边形，AD⊥平面BCD，BC⊥CD．求证： （1）EF∥BC； （2）EF⊥平面ACD． 4．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AB⊥AC，E，F分别是棱AB，BC的中点．求证： （1）A1C1∥平面B1EF； （2）AC⊥B1E． 5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，BC＝CD＝2，AD＝AP＝1，∠BCD＝90°，△PBC为等边三角形，M是棱PC上一点． （1）证明：PA⊥BC；[来源:学&科&网] （2）若DM∥平面PAB，求三棱锥B﹣MCD的体积． 6．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点． （1）证明：BC1∥平面A1CD； （2）若△ABC是边长为2的正三角形，且BC＝BB1，∠CBB1＝60°，平面ABC⊥平面BB1C1C，求三棱锥A﹣DCA1的体积． [来源:学科网ZXXK] 7．如图，三棱台ABC﹣EFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，CB＝2GF＝2，BF＝CF． （1）求证：AB⊥CG；[来源:学#科#网] （2）若四边形BCGF的面积等于，求三棱锥B﹣ACE的体积． 8．已知三棱锥P﹣ABC，如图所示，PA⊥平面ABC，D为AB中点，且PD＝AC＝BC． （1）证明：PD⊥DC； （2）若PC与平面ABC所成的角的余弦值为，，求三棱锥A﹣BCP体积． 9．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PD垂直于底面ABCD，PD＝CD＝2． （1）若M是PC的中点，证明：DM⊥平面PBC； （2）求三棱锥A﹣BDM的体积． 10．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝10，BC＝6，AC＝PC＝8，E，F分别是PA，PC的中点．求证： （1）AC∥平面BEF； （2）PA⊥平面BCE． 11．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是边长为2的正三角形，F是CD的中点，且BC＝BE． （1）求证：AF∥平面BCE；[来源:学*科*网Z*X*X*K] （2）求点D到平面BCE的距离． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 考点13 立体几何综合 1．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，BC∥AD，AD＝2BC＝2CD＝2，O是AD的中点，PO⊥平面ABCD，过AB的平面交棱PC于点E（异于点C，P两点），交PO于F． （1）求证：EF∥平面ABCD； （2）若F是PO中点，PA＝2，求三棱锥E﹣ACD的体积． 【解析】（1）连接OC， 由AO＝OD＝BC，且AO∥BC，可得四边形ABCO为平行四边形， 则AB∥OC，AB⊄平面PCO，CO⊂平面PCO， 可得AB∥平面PCO， 又AB⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面PCO＝EF， 则EF∥AB， 又EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD， 可得EF∥平面ABCD； （2）由PO⊥平面ABCD，F是PO中点，PA＝2， 可得F到平面ABCD的距离为1，而EF∥平面ABCD， 可得E到平面ACD的距离为1， 由底面ABCD为等腰梯形，四边形ABCO为平行四边形， 可得OC＝AB＝CD＝1，△OCD为等边三角形， 且C到OD的距离为， 则△ACD的面积为S2， 则三棱锥E﹣ACD的体积为2． 2．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝PC，E，F分别是PA，PC的中点．求证： （1）AC∥平面BEF； （2）PA⊥平面BCE． 【解析】（1）∵E，F分别是PA，PC的中点， ∴EF∥AC， ∵EF⊂平面BEF，AC⊄平面BEF， ∴AC∥平面BEF． （2）∵PC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PC⊥BC， ∵AC⊥BC，AC∩PC＝C，∴BC⊥平面PAC， ∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC， ∵AC＝PC，E是PA中点，∴CE⊥PA， ∵CE∩BC＝C，∴PA⊥平面BCE． 3．如图，四面体ABCD被一平面所截，平面与四条棱AB，AC，CD，BD分别相交于E，F，G，H四点，且截面EFGH