考点16 圆锥曲线综合-2020年【衔接教材·暑假作业】新高三一轮复习数学（文）（北师大版）

考点16 圆锥曲线综合 1．已知椭圆C：的离心率为，一个顶点为M（0，1），直线l交椭圆于A，B两点，且MA⊥MB． （1）求椭圆C的方程； （2）证明：直线l过定点． 2．已知点M（0，﹣2），点P在直线上运动，点Q满足，记点Q的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）设D（0，3），E（0，﹣3），过点D的直线交曲线C于A，B两个不同的点，求证：∠AEB＝2∠AED． [来源:学#科#网] 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右准线为直线x＝4，左顶点为A，右焦点为F．已知斜率为2的直线l经过点F，与椭圆E相交于B，C两点，且O到直线l的距离为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若过O的直线m：y＝kx与直线AB，AC分别相交于M，N两点，且OM＝ON，求k的值． 4．已知离心率为的椭圆的短轴的两个端点分别为B1，B2，P为椭圆ω上异于B1，B2的动点，且△PB1B2的面积最大值为． （Ⅰ）求椭圆ω的方程； （Ⅱ）射线与椭圆ω交于点A，过点A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C，求△ABC的面积的最大值． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：1（a＞b＞0），其右焦点F到其右准线的距离为1，离心率为，A，B分别为椭圆Γ的上、下顶点，过点F且不与x轴重合的直线l与椭圆Γ交于C，D两点，与y轴交于点P，直线AC与BD交于点Q． （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）当CD时，求直线l的方程； （3）求证：•为定值． 6．如图，设抛物线C1：x2＝4y与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）在第一象限的交点为M（t，），点A，B分别在抛物线C2，C1上，AM，BM分别与C1，C2相切．[来源:学。科。网Z。X。X。K][来源:学+科+网Z+X+X+K] （1）当点M的纵坐标为4时，求抛物线C2的方程； （2）若t∈[1，2]，求△MBA面积的取值范围． 7．已知F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E分别交于点B，C． （1）若△ABC为直角三角形，求半径R的值； （2）判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明． 8．已知双曲线C的右焦点F，半焦距c＝2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．[来源:Z§xx§k.Com] （1）求双曲线C的标准方程； （2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标． 9．已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为． （1）求双曲线C的方程； （2）设A1，A2分别为C的左右顶点，P为C异于A1，A2一点，直线A1P与A2P分别交y轴于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点． 10．已知双曲线Γ：的左、右焦点分别是F1、F2，左、右两顶点分别是A1、A2，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点P（如图）． （1）若是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ； （2）若|PA|＝1，|PB|＝5，|PC|＝2，|PD|＝4，试求双曲线Γ的方程； （3）在（1）的条件下，且|A1A2|＝4，点C与双曲线的顶点不重合，直线CA1和直线CA2与直线l：x＝1分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由． [来源:学|科|网] ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 考点16 圆锥曲线综合 1．已知椭圆C：的离心率为，一个顶点为M（0，1），直线l交椭圆于A，B两点，且MA⊥MB． （1）求椭圆C的方程； （2）证明：直线l过定点． 【解析】（1）由题意可得e，b＝1，而a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝1， 所以椭圆的方程：y2＝1； （2）证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx+t，且t≠1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立直线与椭圆的方程：，整理可得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，△＝64k2t2﹣4（1+4k2）（4t2﹣4）＞0，即t2＜1+4k2， x1+x2，x1x2， 因为MA⊥MB，所以0， 即（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）＝0，x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1＝0， 所以x1x2+（kx1+t）（kx2+t）﹣k（x1+x2）﹣2t+1＝0，即（1+k2）•k（t﹣1）t2﹣2t+1＝0， 整理可得5t2﹣2t﹣3＝0，解得：t或t＝1（舍）， 综上所述：可以得证直线恒过（0，）． 2．已知点M（0，﹣2），点P在直线上运动，点Q满足，记点Q的轨迹为曲线C． （1）求曲线C