（精校版）2020年全国卷Ⅲ理数高考试题文档版（含答案）

绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则中元素的个数为 A．2 B．3 C．4 D．6 2．复数的虚部是 A． B． C． D． 3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A． B． C． D． 4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（t的单位：天）的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为 A．60 B．63 C．66 D．69 5．设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：交于D，E两点，若，则C的焦点坐标为 A． B． C． D． 6．已知向量a，b满足，，，则 A． B． C． D． 7．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB= A． B． C． D． 8．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A． B． C． D． 9．已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= A．–2 B．–1 C．1 D．2 10．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为 A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 11．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a= A．1 B．2 C．4 D．8 12．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则 A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若x，y满足约束条件则的最大值为__________． 14．的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________． 16．关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图像关于y轴对称． ②f（x）的图像关于原点对称． ③f（x）的图像关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分） 设数列{an}满足a1=3，． （1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前n项和Sn． 18．（12分） 某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 锻炼人次 空气质量等级 [0，200] （200，400] （400，600] 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次≤400 人次>400 空气质量好 空气质量不好 附：K2=， P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 ． 19．（12分） 如图，在长方体中，点分别在棱上，且，． （1）证明：点在平面内； （2）若，，，求二面角的正弦值． 20．（12分） 已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点． （1）求的方程； （2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积． 21．（12分） 设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直． （1）求b．