1.2 余弦定理（教案）-2020年高中同步教与学数学（苏教版必修5）

高中同步教与学·全新教案(活页) 第1章解三角形 1.2余弦定理(2课时) 第1课时余弦定理方● 教学目标》 情感、态度与价值观 培养学生合作交流的学习意识 知识与技能 (1)了解向量知识的应用,掌握余弦定理的推导过程 重点◆难点》 2)会利用余弦定理证明简单三角形问题求解简单斜三角口重点 形问题 余弦定理的证明及应用 过程与方法 难点 通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间的联系 向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系 来体现事物之间的普遍联系与辩证统 过程 《案例(-)》 款学◆过程》 一、提出问题 accos A 设计意图:设计问题来引入新课以培养学生的问题意识 62=22+a2-2cacos B 师生活动 c2=a+b-2abcos C [教师]动机激发,问题驱动:上一节,我们一起研究了正弦 形式 定理及其应用,解决了在三角形中已知两角一边与已知两边和其 中一边对角来解三角形的问题.当时对于已知两边及夹角求第 b2+22-a c2+a2-b2 a'+b cos Cos 边问题未能解决,下面我们来看第一张投影片,如图,在直角三角 形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任 [学生]学生交流讨论余弦定理的两种形式特点及用法 意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢 教师]引导学生分析特殊情况,在余弦定理中,令C 还有其他途径将向量等式B 0°,这时,cosC=0,余弦定理变为c2=a2+b2,由此得出勾股定 BA+AC数量化吗? 理是余弦定理的特殊情况,而余弦定理则是勾股定理的推广 因为BC AC,所以 教师]思考是否还有其他方法来推导余弦定理? 引导学生根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一 问题 明确问题:在△ABC中,设BC= ,AC=b,AB=c,试根据b,c,A来 BA2+2 BAI AC cos(180o-A)+AC 学生]独立分析思考,合作 交 a2=b2+c2-2bcCos A [教师]引导学生分析:由于初中平面几何所接触的是解 同理可得 直角三角形问题,所以应添加辅助线构造直角三角形,如上图 b=c+a2-2cacos B 在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作,故作CD垂 +b2-2abcos C 直AB于D,那么在Rt△BDC中,可利用勾股定理用CD、DB表 二、归纳余弦定理 示边a,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用 设计意图:培养学生由特殊到一般的数学思维方法,训练数AB-AD转化,进而在Rt△ADC内求解 学语言表达能力 师生]共同探讨,获得解决方法 师生活动 解:过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,根据勾 [教师]引导学生归纳余弦定理的文字叙述和数学式子表股定理可得 达两种形式.教师总结并出示第二张投影片 a2=CD2+BD,在Rt△ADC中,CD=b2-AD2 且BD2=(c-AD)2=c2-2c·AD+AD2, 高中同步教与学·全新教案(活页 ∴a2=b2-AD+c2-2c·AD+AD)=b2+c2-2c·AD ≈28178.18 又∵在Rt△ADC中,AD=b·cos ∴AB≈168(m) accos A 答A、B两地之间的距离的为168m. 类似地可以证明b2=a2+c2-2 accos b,c2=a2+b2 (2)设计意图:通过例3,让学生充分理解余弦定理与勾股定 2abcos c 理的关系 教师进一步指出:当A为钝角时也可证得上述结论,当A为 例3(教材例3) 直角时a2=62+2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研师生活动 究的余弦定理 [学生]讨论交流后,自主解决问题, 三、利用余弦定理,可以解决有关三角形的问题 教师]学生板演例1、2后点评,并体会定理的应用范围. 设计意图:通过学生的思考、交流总结规律,教师及时启发[学生]总结例1、2中余弦定理应用范围,总结例3中定理 诱导点拨,培养学生的问题意识 与勾股定理的关系 师生活动 五、尝试小结 [教师]在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦设计意图:引导学生总结学过的主要内容 定理的应用.提出问题:利用余弦定理,可以解决三角形中的哪 [师生]先让一名学生回答,后其他学生补充,教师点评. 些问题? 引导学生自我总结,要包括以下三顶内容:(1)余弦定理的 [学生]在充分思考的基础上讨论交流,推选出代表回答证明方法;(2)明确利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问 要点. 题:已知三边求任意角;已知两边及夹角解三角形.(3)余弦定理 [师生]主要是以下两类有关三角形的问题 与勾股定理的关系 (1)已知三边,求三个角 六、跟踪练习 这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯 教材练习1第1、2题. (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个 七、