苏科版九年级数学下浅谈二次函数背景下的多解问题

浅谈二次函数背景下的多解问题 本文对二次函数背景下的多解问题分类简析，供大家参考. 一、多点在抛物线上 例1 如图1，已知直线 与抛物线 交于 两点. (1)求交点 的坐标. (2)记一次函数 的函数值为 ，二次函数 的函数值为 ，若 ，求 的取值范围. (3)在该抛物线上存在几个点，使得每个点与 构成的三角形为等腰三角形?并求出不少于3个满足条件的点 的坐标. 解(1)易得 ， . (2)当 时，根据图象可知， 的取值范围是 . (3)∵ ， ， ∴ . 根据题意，可设 . ①当 时，则点 是线段 的中垂线与抛物线的交点. 易求线段 中垂线的解析式为 . 由方程组 ， 解得 ， ， ∴ ， . ②当 时，由抛物线的对称性，可知点 与点 关于 轴对称，即 . ③当 时，则点 是以 为圆心， 为半径的圆与抛物线异于 的交点(如图2)。 综上所述，符号条件的点 有4个，其中 ， ， . 评析第(3)小问，考虑等腰三角形以 为腰或以 为底进行分类讨论. 二、多点在抛物线的对称轴上 例2 如图3，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 两点，与 轴交于另一个点 ，对称轴与直线 交于点 ，抛物线顶点为 . (1)求抛物线的解析式. (2)在第三象限内， 为抛物线上一点，以 为顶点的三角形面积为3，求点 的坐标. (3)点 从点 出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为 秒，当 为何值时，以 为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的 值. 解 (1)易得抛物线的解析式为 . (2)如图4，设第三象限内点 的坐标为 ，则 . ∵ ， ∴对称轴为直线 ，顶点 的坐标为 . 设抛物线的对称轴与 轴交于点 ，连结 ， 则 ， . ∵直线 的解析式为 ， ∴ 与对称轴 交点 的坐标为 . ∵ 以 为顶点的三角形面积为3时，有 ， 解得 ， (舍去) 当 时， ∴点 的坐标为 . (3)设P点坐标为 ( ). ∵ ， ∴ . 如图5，如果 ， 那么 ， 即 ， 解得 ， ∴ 点的坐标为 。 ∵顶点 的坐标为 ， ∴ ， 又点 的速度为每秒1个单位长度， ∴ . ②如图6，如果 ， 那么 ， 即 ， 解