专题11 高中物理学习的数学基础——三角函数和角的弧度制-2020年初升高物理无忧衔接

专题11 高中物理学习的数学基础 ——三角函数和角的弧度制 知识精讲 一、锐角三角函数 1.1锐角三角函数的定义 （1）直角三角形的三条边： 如图所示，在直角三角形ΔABC中，∠C是直角。则AC、BC叫做直角边，AB叫做斜边。∠A、∠B都是锐角。对于∠A来说，AC叫做∠A的邻边，BC叫做∠A的对边。 （2）锐角三角函数 初中几何课本中给出锐角三角函数的定义，是依据这样一个基本事实：在直角三角形中，当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值是一个固定的值。 关于这点，我们看下图，图中的直角三角形AB1C1，AB2C2，AB3C3，…都有一个相等的锐角A，即锐角A取一个固定值。如图所示，许许多多直角三角形中相等的那个锐角叠合在一起，并使一条直角边落在同一条直线上，那么斜边必然都落在另一条直线上。不难看出： B1C1∥B2C2∥B3C3∥…， ∵△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…， 因此，在这些直角三角形中，∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值。 根据同样道理，由“相似形”知识可以知道，在这些直角三角形中，∠A的对边与邻边的比值，∠A的邻边与斜边的比值都分别是某个固定的值。 这样，在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作SinA；锐角A邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作CosA；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tgA；锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，于是我们得到锐角A的四个锐角三角函数。 三角函数定义如下： 设∠A=α，并令AC=x，BC=y，AB=r，则α的四个三角函数值定义为： ∠A 的正弦、余弦、正切、余切统称为三角函数（高中数学还将会学到其它的三角函数名称）。 1.2 锐角三角函数的主要性质 1. 三角函数值只是一个比值，由角的大小唯一确定，与直角三角形的边长无关。 2．Sinα、Cosα、tanα、cotα均为正值。 3.当0<α<90°时，正弦与正切函数为增函数；余弦与余切函数为减函数 4.对于同一个角α，存在如下的关系： ①平方和关系： ②比值的关系： ③倒数关系： 5. 若α、β互为余角，则有： Sinα=Cosβ,Cosα=Sinβ,tanα=cotβ,cotα=tanβ 6．若α、β互为补角，则有： Sinα= Sin（1800-β）= Sinβ Cosα= Cos（1800-β）=- Cosβ tanα= tan（1800-β）=- tanβ cotα= cot（1800-β）=- cotβ 1.3 0－90°之间的特殊角的各三角函数值： 高中物理计算中经常用到0、30°、37°、45°、53°、60°、90°的角的三角函数的值。现把这些值列在下面的表格中，这些值都是要求记忆的。其它角度的三角函数的值可以查数学用表或用计算器来算 角度 00 300 370 450 530 600 900 sin cos tan cot 表格中的370和530角同学们在初中很少遇到，但我们在高中物理中经常要用到它们。其实这两个角也是大家很熟悉的，还记得“勾3股4弦必5”吧？在这个直角三角形中，长为5的边所对的是直角，长为3的边所对的锐角就是370，长为4的边对的角就是530。 1.4 正余弦定理 正弦定理 余弦定理 a2=b2=c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosA 1.5 直线方程 直线y=kx+b图线如图所示 1．直线的斜率k 2．纵截距y0和横截距x0：直线与x、y轴的交点A、B到原点O的距离就是纵截距y0和横截距x0，分别等于x=0和y=0时y的值、x的值，即y0=b x0= 直线的斜率k和纵横截距是图象问题的重要手和方法 1.6 一元二次函数 一元二次函数 y=ax2+bx+c （1）顶点坐标公式 （2）判别式 1） 图象与x轴有两个交点 2） 图象与x轴只有一个交点 3） 图象与x轴没有交点 （3）配方 主要用于解决极值问题，尤其判别式法是一种非常有效的方法，如解答追击问题。 2. 角的弧度制表示 2．1 弧度制——另一种度量角的单位制 角的单位，除了我们熟知的“度、分、秒”以外，还可以用另一个单位——弧度。它的单位是“弧度”，记作rad ，读作弧度。 在一个圆中，圆心角的弧度值等于圆弧的长度除以圆的半径。所以，当圆弧的长度等于圆的半径长度时