第二章 2.1.1 等式的性质与方程的解集（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教B版）

2.1　等式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 学习目标　1.掌握等式的性质，并能进行应用.2理解常见恒等式及其变形的形式，能对一些式子进行化简.3.能通过因式分解求方程的解集. 知识点一　等式的性质 1.等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，那么a±c＝b±c；这里的a，b，c可以是具体的一个数，也可以是一个代数式. 2.等式两边同时乘以(或除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，那么ac＝bc，＝(c≠0). 知识点二　恒等式 1.a2－b2＝(a＋b)(a－b)(平方差公式)； 2.(a－b)2＝a2－2ab＋b2(两数差的平方公式)； 3.(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(两数和的平方公式)； 4.a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)(立方差公式)； 5.a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)(立方和公式). 知识点三　方程的解集 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为方程的解集. 1.化简x2－2x＋1＝________. 答案　(x－1)2[来源:学§科§网] 2.化简4x2－y2＝________. 答案　(2x＋y)(2x－y) 3.多项式4a－a3分解因式的结果是________. 答案　a(2－a)(2＋a) 4.方程x2＋4x＋4＝0的解集为________.[来源:学科网ZXXK] 答案　{－2} 一、利用恒等式化简 例1　化简：3ax2－12ay2. 解　3ax2－12ay2＝3a(x2－4y2)＝3a(x＋2y)(x－2y). 反思感悟　化简的一般步骤为“一提”“二套”“三检查”“四检验”： (1)先看是否能提取公因式； (2)再看能否套用公式； (3)再检查因式分解是否彻底； (4)最后用多项式乘法检验分解是否正确. 跟踪训练1　化简：a3(a－b)－8(a－b). 解　a3(a－b)－8(a－b)＝(a－b)(a3－23)＝(a－b)(a－2)(a2＋2a＋4). 二、十字相乘法 例2　化简： (1)x2＋6x－7； (2)2x2－7x＋6； (3)x2＋29xy＋100y2. 解　(1)方法一　x2＋6x－7＝x2＋6x＋9－9－7 ＝(x＋3)2－16 ＝(x＋3＋4)(x＋3－4) ＝(x＋7)(x－1). 方法二　x2＋6x－7＝(x＋7)(x－1). (2)首先把二次项系数2分成1×2，常数项6分成(－2)×(－3)，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数. 右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为1×(－3)＋2×(－2)＝－7，正好是一次项系数，从而得2x2－7x＋6＝(x－2)(2x－3). (3)x2＋29xy＋100y2＝x2＋29y·x＋4y·25y＝(x＋4y)(x＋25y). 反思感悟　1.对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解. 2.对于二次三项式ax2＋bx＋c(a，b，c都是整数，且a≠0)来说，如果存在四个整数a1，c1，a2，c2满足a1a2＝a，c1c2＝c，并且a1c2＋a2c1＝b，那么二次三项式ax2＋bx＋c即a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2可以分解为(a1x＋c1)·(a2x＋c2). 跟踪训练2　化简：－x2＋x＋7. 解　－x2＋x＋7＝－(x2－4x－21)＝－(x－7)(x＋3). 三、方程的解集 例3　求方程2x2－x－1＝0的解集. 解　因为2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)， 所以(2x＋1)(x－1)＝0， 从而可知2x＋1＝0或x－1＝0，即x＝－或x＝1， 因此方程的解集为. 反思感悟　利用因式分解将式子分解为因式乘积的形式，利用ab＝0，则a＝0或b＝0求解. 跟踪训练3　求方程6x2－7x－5＝0的解集. 解　因为6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)， 所以(2x＋1)(3x－5)＝0， 从而可知2x＋1＝0或3x－5＝0，即x＝－或x＝， 因此方程的解集为. 1.将多项式x－x3因式分解正确的是(　　) A.x(x2－1) B.x(1－x2) C.x(x＋1)(x－1) D.x(1－x)(1＋x) 答案　D 解析　x－x3＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x).故选D. 2.下列各种变形中，不正确的是(　　) A.由2＋x＝5可得到x＝5－2 B.由3x＝2x－1可得到3x－2x＝－1 C.由5x＝4x＋1可得到4x－5x＝1 D.由6x－2x＝－3可得到6x＝2x－3 答案　C 3.将代数式x2＋4x－5因式分解的结果为(　　) A.(x＋5)(x－1) B.(x－5)(x＋1) C.(x＋5)(x＋1) D.(x