第二章 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教B版）

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 学习目标　1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集.2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用.3.理解一元二次方程根与系数的关系． 知识点一　一元二次方程的有关概念 形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c为常数，且a≠0. 其中二次项是ax2，一次项是bx，c是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．[来源:学。科。网] 知识点二　一元二次方程的解法 直接开平方法 形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程. 配方法 把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解. 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝. 因式分解法 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，即可解得两根为：x1＝－m，x2＝－n. 知识点三　一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 1．方程ax2＋bx＋x＝0是一元二次方程．(　×　) 2．方程x2－2x－1＝0的解集为{－1,1}．(　×　) 3．若x1，x2是方程x2－3x＝0的两个根，则x1x2无法计算．(　×　) 4．关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝1.(　√　) 一、配方法求方程的解集 例1　利用配方法解方程2x2－4x－30＝0. 解　∵2x2－4x－30＝0， ∴2x2－4x＋2＝32，∴x2－2x＋1＝16， ∴(x－1)2＝42，∴x1＝5，x2＝－3. 反思感悟　用配方法解一元二次方程的步骤： (1)化二次项系数为1，即方程两边都除以二次项系数． (2)移项：把常数项移到方程的右边． (3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式． (4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是为了降次，得到一元一次方程． (5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 跟踪训练1　一元二次方程y2－y－＝0配方后可化为(　　) A.2＝1 B.2＝1 C.2＝ D.2＝ 答案　B 解析　由y2－y－＝0，得y2－y＝，所以y2－y＋＝1，即2＝1，故选B. 二、一元二次方程根的个数判断 例2　一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5根的情况是(　　) A．无实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3 答案　D 解析　(x＋1)(x－3)＝2x－5，整理得x2－2x－3＝2x－5， 则x2－4x＋2＝0，(x－2)2＝2， 解得x1＝2＋＞3，x2＝2－＞0， 故有两个正根，且有一根大于3. 故选D. 反思感悟　在使用根的判别式解决问题时，要注意： (1)一元二次方程的解的情况分为“无实根”、“有两个相等的实根”、“有两个不等的实根”三种情况，注意与判别式的对应关系； (2)利用根的判别式确定字母系数的取值范围时，不要漏掉二次项系数不为0这个隐含条件，否则容易出错． 跟踪训练2　若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是(　　) A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1 答案　D 解析　∵方程x2－2x＋m＝0有两个不相同的实数根， ∴Δ＝(－2)2－4m＞0，解得m＜1. 故选D. 三、一元二次方程根与系数的关系 例3　已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0. (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值； (2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值． 解　(1)根据题意得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0， 解得m≥－， ∴m的最小整数值为－2. (2)根据题意得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－2， ∵(x1－x2)2＋m2＝21， ∴(x1＋x2)2－4x1x2＋m2＝21， ∴(2m＋1)2－4(m2－2)＋m2＝21， 整理得m2＋4m－12＝0，即m2＋4m＋4＝16， ∴(m＋2)2＝16，解得m1＝2，m2＝－6， ∵m≥－，∴m的值为2. 反思感悟　应用一元二次方程根与系数的关系时，要注意以下几点： (1)当一元二次方程不是一般形式时，要先化为一般形式． (2)应用时，不要漏掉“－”号． (3)应用根与系数的关系公式前，首先确定判别式Δ的值，Δ≥0是应用公式的前提． 跟踪训