第二章 2.2.1 第1课时 不等式及其性质（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教B版）

2.2　不等式 2.2.1　不等式及其性质 第1课时　不等式及其性质 学习目标　1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 知识点一　不等关系 不等式中文字语言与数学符号之间的转换 大于 小于 大于等于 小于等于 至多 至少 不少于 不多于 > < ≥ ≤ ≤ ≥[来源:Zxxk.Com] ≥ ≤ 其中a≥b⇔a＞b或a＝b，a≤b⇔a＜b或a＝b. 知识点二　比较两个实数(代数式)大小 作差法的理论依据： a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0. 知识点三　不等式的基本性质及推论 1．不等式的性质 性质 别名 内容 性质1 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 性质2 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc[来源:学科网ZXXK][来源:学科网] 性质3[来源:Z§xx§k.Com] a＞b，c＜0⇒ac＜bc 性质4 传递性 a>b，b>c⇒a>c 性质5 对称性 a>b⇔b<a 2.不等式的推论 推论 别名 内容 推论1 移项法则 a＋b＞c⇔a＞c－b 推论2 同向不等式相加 a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d 推论3 同向不等式相乘 a＞b＞0, c＞d＞0⇒ac＞bd 推论4 可乘方性 a＞b＞0⇒an＞bn_(n∈N，n＞1) 推论5 可开方性 a＞b＞0⇒> 1．若a>b，则a－c>b－c.(　√　) 2.>1⇒a>b.(　×　) 3．对任意的x都有x2≥2x－1.(　√　) 4.的充要条件是a＋c>b＋d.(　×　) 一、用不等式表示不等关系 例1　(1)下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是(　　) A．a－b＞0 B．a－b＜0 C．a－b≥0 D．a－b≤0 答案　C 解析　“a与b的差是非负数”用不等式表示为a－b≥0.故选C. (2)某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为(　　) A．h＜4.5 B．h＞4.5 C．h≤4.5 D．h≥4.5 答案　A 解析　“限高4.5米”即h＜4.5，故选A. 反思感悟　1.用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤： (1)审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量； (2)列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件)； (3)列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件)． 2．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特别需要考虑的是“≤”“≥”中的“＝”能否取到． 二、作差法比较大小 例2　已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． 当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2. 综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2. 延伸探究 1．若a>0，b>0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？ 解　(a5＋b5)－(a3b2＋a2b3)＝a5－a3b2＋b5－a2b3 ＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2) ＝(a2－b2)(a3－b3) ＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)． ∵a>0，b>0， ∴(a－b)2≥0，a＋b>0，a2＋ab＋b2>0. ∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3. 2．对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？ 解　若a>0，b>0，n>r，n，r∈N＋，则an＋bn≥arbn－r＋an－rbr. 反思感悟　比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方式的形式或一些易判断符号的因式积的形式． 跟踪训练1　已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小． 解　∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)， 又∵2＋>0，x－1<0， ∴(x－1)<0，∴x3－1<2x2－2x. 三、利用不等式的性质判断或证明 例3　(1)给出下列命题： ①若ab>0，a