第二章 2.2.1 第2课时 不等式的证明方法（word）-2019-2020学年高中新教材数学第一册【步步高】学案导学与随堂笔记（人教B版）

第2课时　不等式的证明方法 学习目标　1.掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点，能用综合法、分析法证明简单问题.2.能正确区分综合法和分析法的推理特点，灵活选用恰当的方法证明问题.3.了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点．掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题． 知识点一　综合法 综合法是从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法． 知识点二　反证法 反证法是首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立． 知识点三　分析法 分析法的实质就是不断寻找使结论成立的充分条件． 1．综合法是从结论向已知的逆推证法．(　×　) 2．综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求使结论成立的充分条件的过程．(　√　) 3．反证法属于间接证明问题的方法．(　√　) 4．反证法的实质是否定结论导出矛盾．(　√　) 一、综合法 例1　(1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac<e－bc； (2)若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤. 证明　(1)∵a>b，c>0，∴ac>bc， ∴－ac<－bc.∵f<e， ∴f－ac<e－bc. (2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc， ∵bd>0， ∴≤，∴＋1≤＋1， ∴≤. 反思感悟　综合法处理问题的三个步骤． 跟踪训练1　已知x＋y＋z＝m.求证x2＋y2＋z2≥. 证明　∵x＋y＋z＝m， ∴(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)＝m2. 又∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，z2＋x2≥2xz， ∴2(x2＋y2＋z2)≥2(xy＋yz＋zx)， 即x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx， ∴m2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤3(x2＋y2＋z2)． ∴x2＋y2＋z2≥. 二、反证法 例2　若x>0，y>0，且x＋y>2，求证与至少有一个小于2. 证明　假设与都不小于2， 即≥2，≥2. ∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x,1＋x≥2y， 两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)． ∴x＋y≤2，这与已知中x＋y>2矛盾．[来源:学科网] ∴假设不成立，原命题成立． 故与至少有一个小于2. 反思感悟　反证法证明问题的一般步骤 跟踪训练2　已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数． 证明　假设a，b，c，d都是非负数， 因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1. 又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， 所以ac＋bd≤1， 这与已知ac＋bd>1矛盾，[来源:学科网] 所以a，b，c，d中至少有一个是负数． 三、分析法[来源:学+科+网Z+X+X+K] 例3　已知a>b>0，求证<－<. 证明　要证<－<， 只需证<<.[来源:学,科,网] ∵a>b>0， ∴同时除以，得<1<， 同时开方，得<1<， 只需证＋<2，且＋>2， 即证<，即证b<a. ∵a>b>0，∴原不等式成立， 即<－<. 反思感悟　1.分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式． 2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误． 跟踪训练3　已知a>0，b>0，求证＋≥＋. 证明　要证＋≥＋， 只需证≥＋， 只需证()3＋()3≥a＋b， 只需证()3＋()3－a－b≥0， 即证(－)(a－b)≥0，即(－)2(＋)≥0. ∵a>0，b>0，∴(－)2(＋)≥0显然成立． ∴原不等式成立． 1．分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　分析法证明是从所证命题的结论出发，寻求使结论成立的充分条件． 2．要证明＋<2可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(　　) A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．归纳法 答案　B 解析　要证明＋<2最合理的方法是分析法． 3．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用(　　) ①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 答案　C 解析　反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的反设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果． 4．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确